本讲主题：投资组合理论。
- Markowitz 均值—方差优化；
- 含无风险资产的均值—方差优化；
- von Neumann–Morgenstern 效用理论；
- 投资组合优化约束；
- 收益期望与协方差估计；
- 替代风险度量。
考虑单期、包含
投资组合权重
投资组合收益、期望与方差分别为
均值—方差偏好要求较高的期望收益和较低的方差。对目标收益
满足
这是带线性约束的凸二次优化问题，可用 Lagrange 乘子法求解。
Lagrange 函数为
一阶条件给出
故
定义
则
最优权重的方差为
因此最小方差是目标收益
问题 II：给定目标方差
满足
问题 III：给定风险厌恶参数
三个问题的有效解构成有效前沿。
本节加入无风险资产。
无风险资产收益恒为
若风险资产权重为
对目标收益
满足
令超额收益向量
则一阶条件给出
目标收益为
无风险资产权重为
风险与目标超额收益成线性比例（以标准差衡量）。
定义完全投资于风险资产、且
的切点组合：
它就是风险资产有效前沿与从无风险收益率出发的切线相切处的组合，称为市场组合。
每个最优组合都只是无风险资产与同一个市场组合
其中
因此
投资者的风险偏好只决定在无风险资产与市场组合之间如何分配，不改变风险资产内部的相对权重。
资本市场线（CML）为
其中
是市场风险价格或市场组合的 Sharpe 比率。有效组合的期望收益随其标准差线性增加。
- Markowitz（1952），〈Portfolio Selection〉，Journal of Finance。
- Tobin（1958），〈Liquidity Preference as Behavior Towards Risk〉，Review of Economic Studies。
- Sharpe（1964），〈Capital Asset Prices〉，Journal of Finance。
- Lintner（1965），〈The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments〉。
- Fama（1970），〈Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work〉。
本节讨论 von Neumann–Morgenstern 期望效用理论。
理性投资组合选择以期望效用表示偏好。
- 初始财富：
； - 行动：选择投资组合
，权重为 ； - 单期后财富：
- 效用函数：
最优组合解决
通常
绝对风险厌恶系数：
相对风险厌恶系数：
在
除去常数和正比例因子后，这等价于
从而说明均值—方差准则可视作期望效用的局部近似。
- 线性效用：
- 二次效用：
- 指数效用：
具有常绝对风险厌恶（CARA）。
- 幂效用：
具有常相对风险厌恶（CRRA；不同教材常加比例因子
- 对数效用：
本节讨论实际投资组合优化中的约束。
只做多：
持仓上下限：
若
设基准权重为
组合相对基准的跟踪误差收益为
其方差为
并可施加
对因子模型
组合对因子
可限制为
或要求因子中性：
其他约束包括最小交易规模、最小持仓规模和整数约束。
设：
：目标组合； ：当前组合； ：交易向量； ：基准组合。
一般线性约束可写成
一般二次约束可写成
本节讨论收益期望与协方差矩阵的估计。
样本均值和样本协方差可作为：
- 最小二乘估计；
- 无偏估计；
- 在特定高斯假设下的最大似然估计。
关键问题包括：
- 估计区间的选择；
- 估计误差对最优权重的巨大影响。
替代方法包括：
- 指数移动平均；
- 动态因子模型；
- 使用更简单、稳健的模型优化；
- Sharpe 单指数模型；
- 常相关模型。
本节讨论方差以外的风险度量。
若
采用情景离散化后，MAD 常可转化为线性规划。
半方差为
只惩罚低于均值的下行波动。
置信水平
VaR 一般不具凸性，也不一定满足次可加性，因此分散化有时反而会增加所报告的 VaR。
条件风险价值（CVaR），又称期望损失或期望尾部损失：
CVaR 优化可参见 Rockafellar 与 Uryasev（2000）。
风险度量
- 单调性：若
几乎处处成立，则
- 次可加性：
- 正齐次性：
- 平移不变性：
方差不满足单调性，VaR 一般不满足次可加性；CVaR 是一致风险度量。
在
因此可构造高阶矩优化：
满足
- 投资者通常偏好较高的正偏度；
- 通常偏好较低的偶数阶中心矩，即较少的离散程度；
- 偏度和峰度估计对异常值敏感，需要较大的样本量；
- 可采用多目标优化或多项式目标规划（PGP）。
