09-ICEF 2024年考试

考试日期：2024 年 12 月 30 日

规则： 考试时间为 120 分钟；可以携带一张 A4 纸大小的备忘单和计算器； 表示 Wiener 过程。答案中可以使用标准正态分布函数 。

1.［10 分］

设 是标准 Wiener 过程。

（a）［3 分］ 服从什么分布？

（b）［5 分］求条件分布

（c）［2 分］求概率

2.［10 分］

考虑过程

（a）［2+3 分］求 和 。

（b）［5 分］求

3.［10 分］

令

（a）［4+2 分］求 ，并把 写成两个积分之和。

（b）［4 分］至少找出一个使 成为鞅的函数 。

4.［10 分］

考虑 Black–Scholes 模型，其无风险利率为 、波动率为 、股票初始价格为 。

测度 表示使贴现股票价格过程成为鞅的风险中性概率测度；测度 表示使 为 Wiener 过程且

成立的概率测度。

（a）［2+2 分］求

（b）［6 分］某期权在固定时刻 支付

求其当前价格 。

5.［10 分］

这是期末考试。五名学生坐在最后一排，最后一排正中间的学生是唯一带了计算器的人。把这名学生的位置坐标记为 。

每过一分钟，他的计算器都以相同概率向右移动一个座位（）或向左移动一个座位（）。用 表示时刻 计算器的位置坐标，并令 。

（a）［4 分］检验

是否为鞅。

（b）［6 分］求计算器到达这一排末端，即

所需时间的平均值。

6.［10 分］

随机变量 相互独立，并且都服从参数 的指数分布。令

（a）［2 分］给出事件 的一个例子，使

（b）［4+4 分］求

注意：这里的 表示由相应随机变量生成的最小 -代数。