08-ICEF 2024年家庭作业

1　HA-1

1.

考虑随机变量 和 的下列联合分布：

（a）明确写出

（b）下列 -代数分别包含多少个元素？

2. 更多关于 -代数的问题 :)

（a）你观察了 10 次相互独立的抛硬币结果。相应的 -代数包含多少个元素？

（b）两个 -代数的并一定还是 -代数吗？证明你的结论。

（c）两个 -代数的交一定还是 -代数吗？证明你的结论。

3.

我反复掷一枚公平的骰子，直到第一次出现六点。用 表示总投掷次数，用 表示投掷结果为奇数的次数。

求

4.

我抛掷 100 枚硬币。用 表示正面朝上的硬币数。然后只把这 枚硬币再抛一次，其余硬币保持原状。用 表示此时正面朝上的硬币数。

求

5.

随机变量 和 服从均值为零、协方差矩阵为

的联合正态分布。

（a）求

（b）利用标准正态分布函数求

6.

随机变量 独立同分布，并且

考虑累加和过程

（a）求所有使

成为鞅的 。

（b）如果可能，求常数 和 ，使

成为鞅。

7.

随机变量 独立同分布，并且

考虑累加和过程

令 为 第一次等于 或 的时刻。

（a） 是鞅吗？

（b）求

（c）如果可能，求非随机序列 ，使

成为鞅。

（d）求

2　HA-2

1.

设 是标准 Wiener 过程。

求

提示：可以使用 Itô 引理，也可以不用，由你决定。

2.

设 是标准 Wiener 过程，并令

（a）求 和 。

（b） 是鞅吗？

（c）当 时，求

3.

令

并考虑过程

令 为 第一次达到 的时刻。

（a）检验 是否为鞅。

（b）求函数 ，使

（c）利用关于 的 Doob 定理求

（d）对 ，求

（e）求 。

提示：可以直接相信 Doob 定理可用于本题，不会因此扣分。

4.

考虑过程

（a）求 。

（b）若

求 。

（c）（加分题）求 和 。

5.

考虑过程

（a）求 。

（b） 是鞅吗？

（c）求协方差

6.

求解随机微分方程

如果毫无头绪，可以尝试作代换

不要忘记，最终答案可以包含无法显式算出的积分，这是可以接受的。

7.

考虑 Black–Scholes 模型框架，其中 为股票价格。推导以下两个欧式资产的当前价格 和 。

未来收益为：

（a）

其中 和 在合约中固定。

（b）

其中 在合约中固定。