10-ICEF 2024年补考

考试日期：2025 年 1 月 25 日

规则： 考试时间为 120 分钟；可以携带一张 A4 纸大小的备忘单和计算器； 表示 Wiener 过程。答案中可以使用标准正态分布函数 。

1.［10 分］

设 是标准 Wiener 过程。

（a）［3 分］ 服从什么分布？

（b）［5 分］求条件分布

（c）［2 分］求概率

2.［10 分］

考虑过程

（a）［2+3 分］求 和 。

（b）［5 分］求

提示：不要忘记 Itô 引理 :)

3.［10 分］

令

（a）［6 分］求一个非零函数 ，使 成为鞅。

（b）［4 分］求

4.［10 分］

考虑 Black–Scholes 模型，其无风险利率为 、波动率为 、股票初始价格为 。

测度 表示使贴现股票价格过程成为鞅的风险中性概率测度；测度 表示使 为 Wiener 过程且

成立的概率测度。

（a）［2+2 分］求

（b）［6 分］某期权在固定时刻 支付

求其当前价格 。

5.［10 分］

设

至少求出这个随机微分方程的一个解。

6.［10 分］

随机变量 相互独立，并且都服从参数 的指数分布。令

（a）［2 分］给出事件 的一个例子，使

（b）［4+4 分］求

注意：这里的 表示由相应随机变量生成的最小 -代数。