16-随机过程 II

此前我们研究了离散时间随机过程，包括 Markov 链、鞅、时间序列分析和回归分析。现在转向连续时间随机过程。

连续时间随机过程的完整概率分布通常很难直接描述。离散时间中可通过增量 描述分布，但连续时间包含不可数多个时点，不能照搬这种做法。常见路线是先规定分布应满足的性质，再证明满足这些性质的概率分布确实存在。严格构造需要较深的概率论，本课程只介绍框架和主要性质。

形式上需要概率空间 。随机过程 是从 到定义在 上的实函数空间的映射。若 是一组路径，则

只研究一个过程时，可直接把 看成全部可能路径的集合；研究多个过程或变换概率测度时，抽象样本空间更方便。用 表示一个样本点，也即过程的一条可能路径。

标准 Brown 运动（Wiener 过程）是简单随机游走的连续时间对应物。Wiener 曾任 MIT 教授；Bachelier 更早在 1900 年博士论文中用 Brown 运动研究股票和期权。

定理 2.1 存在定义在连续函数路径上的概率分布，使过程 满足：

1. ；
2. 对 $0\le s

3. 不相交时间区间上的增量相互独立。

按该分布抽取的一条路径称为 Brown 样本路径。

Brown 运动可看作简单随机游走的极限。若随机游走增量均值为 0、方差为 1，并对缩放后的路径作分段线性插值，则随着步数 增加，路径分布趋近 Brown 运动；特别地，

Robert Brown 于 1827 年观察到水中花粉颗粒的不规则运动；Einstein 于 1905 年用分子碰撞解释这一现象。股票价格也可借助 Brown 运动建模。

Brown 运动具有以下性质：

1. 无穷多次穿过横轴；
2. 典型尺度满足 约为 ；
3. 路径处处不可微。

现实中只能在有限时间分辨率下观察价格。若更细的离散观测表现得像简单随机游走，其极限由 Brown 运动刻画是合理的。

定义

由于路径连续且 紧致，最大值存在。

命题 2.3 对 ，

令首次到达 的时刻为

利用 Brown 运动的强 Markov 性，在事件 上， 后的增量关于 0 对称。这就是反射原理。

反射原理给出

命题 2.4 对每个固定 ，Brown 运动在 几乎必然不可微。

若路径在 可微，则存在有限常数 ，使足够小的 满足

但由平稳增量和最大值分布，

因此固定时点可微的概率为 0。Dvoretsky、Erdős 与 Kakutani 进一步证明：Brown 路径以概率 1 处处不可微。

定理 2.5（二次变差） 对 的分割

Brown 运动以概率 1 满足

对等距分割，各平方增量独立同分布，每项均值为 。由大数定律，平方增量之和趋于 。

相比之下，若 连续可微，则

因此 Brown 运动的局部波动远强于光滑函数。二次变差关系常形式化写成

例 2.6（带漂移的 Brown 运动）

长期来看线性漂移占主导：对任意固定 ，时间足够大后，路径最终位于

之间。

连续时间模型可借助微积分这一强大工具；尽管 Brown 路径不可微，仍可建立处理它的广义微积分——Itô 随机微积分。

若认为股票价格的百分比变化近似正态，可写成随机微分方程

能否直接得到

答案是否定的，因为 会产生普通微积分中不存在的修正项。下一讲将用 Itô 公式处理这一问题。

参考文献：

1. S. Ross，A First Course in Probability；
2. D. Bertsekas、J. Tsitsiklis，Introduction to Probability；
3. L. Bachelier，〈Théorie de la spéculation〉；
4. R. Durrett，Probability: Theory and Examples，第 3 版；
5. S. R. S. Varadhan，随机过程讲义。