17-Itō 微积分

上一讲指出，Brown 样本路径以概率 1 处处不可微，因此

不存在。然而在随机模型中，经常需要研究光滑函数 在无穷小时间内的变化。

若 可微，普通链式法则会给出

但这并不正确。Taylor 展开为

取 时，

所以二阶项与时间增量同阶，不能忽略。Itō 微积分的核心规则是

而三阶及更高阶项在极限中可忽略。

由上述规则，

这就是一维 Itō 公式的基本形式。

更一般地，对光滑函数 ，

定理 1.1（Itō 引理） 若

则

推导使用乘法规则

随机积分定义为随机微分的逆运算：

当且仅当

带漂移和尺度的 Brown 运动

满足

对 ，

积分后，

这与普通微积分的形式不同，差异正来自二次变差。

若

则

因此随机微分方程

的解为

若 ，且 ，则

译注：原讲义此例最后一行漏印了两个 ，这里按 Itō 公式校正。

后续问题包括：随机积分的方差如何计算、何时为鞅、以及何时服从正态分布。随机积分还有其他约定（如 Stratonovich 积分）；Itō 积分最自然地体现了策略不能利用未来信息。

若 是确定函数，则

在每个固定 都服从正态分布。

定义 2.1 若对每个 ， 只依赖于截至 的过程历史 ，则称 关于 是适应的。

例：

• 是适应过程；
• 是适应过程；
• 涉及未来最大值 的量在 时通常不是适应的；
• 停时 所截停的过程 是适应的。

交易策略必须适应当前信息，否则等同于预知未来。

定理 2.3 若 是平方可积的适应过程，则

是鞅。平方可积条件通常写为

以 为例，

因为 ，该积分期望为 0；其条件增量期望也为 0，从而验证鞅性质。

定理 2.5（Itō 等距） 对平方可积适应过程 ，

当 时，两边均为

由于 Itō 积分的期望为 0，Itō 等距直接给出了积分的方差。

本页随后引出测度变换：一个带漂移的过程是否也能从另一种概率观点看成无漂移过程？答案将由 Girsanov 定理给出。

随机过程可理解为路径空间上的概率分布。测度变换固定可能路径集合 ，只改变这些路径的概率权重。

若 且

可定义新概率测度

由于 ，

满足这一性质的 与 称为等价概率测度。它们允许的路径相同，只是路径的概率权重不同。

称为 关于 的 Radon–Nikodým 导数：

测度变换既有理论意义，也有金融应用：它可把非鞅价格过程转化为某个等价测度下的鞅，从而为衍生品定价。

一般路径变换未必保持等价性。例如 的路径分布与 的分布并不等价。

定理 3.2（简单形式） 设 在 下是漂移为 的 Brown 运动。定义

则 在 下为无漂移 Brown 运动。

译注：原讲义指数中的二次项符号与“从漂移 移除漂移”的标准密度不一致；上式采用规范化后期望为 1 的标准形式。

定理 3.3（一般形式） 设 在 下为标准 Brown 运动， 是有界适应过程。令

则

在 下为标准 Brown 运动。

本讲略去了测度论技术细节；严格建立 Itō 微积分需要扎实的测度论基础。

参考文献包括 Wilmott 等人的 The Mathematics of Financial Derivatives、Shreve 的 Stochastic Calculus for Finance II、Steele 的 Stochastic Calculus and Financial Applications，以及路径随机积分方面的论文。