19-随机微分方程

本讲研究随机微分方程（SDE）。更完整的论述可参见参考文献 [3] 第 9 章。

希望求解

路径 是解，意指它满足积分方程

随机微分方程连接概率论与常微分方程、偏微分方程。随机建模可借鉴数百年的物理科学成果，而经典数学物理结果也可获得新的概率直观。

定理 1.1（存在唯一性） 考虑

若系数满足空间变量的 Lipschitz 条件

以及线性增长条件

则存在满足适当 界的连续适应解。若 都是这样的解，则

这保证了大多数常用 SDE 的良定性。

1.1 系数匹配法

考虑

设 。Itō 公式给出

匹配系数：

第二式给出 乘以初值常数；代回第一式得

因此

1.2 Ornstein–Uhlenbeck 过程

该模型由 Ornstein 和 Uhlenbeck 用于气体运动，并体现均值回归。设

系数匹配要求

所以

并得到

大多数 PDE 和 SDE 没有闭式解，可采用有限差分、树方法或 Monte Carlo 模拟。

考虑 ODE

取步长 ，显式 Euler 近似为

若 ，则

译注：原讲义最后数值排版成 9；按所列 Euler 公式应为 。

该方法可扩展到 PDE：在细网格交点 上近似函数值。但不能原样直接用于 SDE，因为更新式含随机变量。

Monte Carlo 通过独立抽样模拟概率空间。对

可：

1. 随机抽取一条 Brown 路径；
2. 固定该路径后，用离散数值方法近似求解；
3. 重复大量次数。

所得样本分布随模拟次数增加而逼近 SDE 解的分布。

树方法利用 Brown 运动是简单随机游走极限这一思想。把 离散为

并在每个时间步用适当尺度的上行或下行代替 Brown 增量，即可递归近似 的概率分布。Hull 的著作展示了这些方法在金融中的应用。

本讲最后讨论一维热方程：

Black–Scholes 方程经过适当变量变换可化为热方程。

物理解释：若 表示一根细长、均匀且侧面绝热的杆在位置 、时刻 的温度，则 满足热方程。

目标是解决初值问题

观察 1：线性性。 若 都是热方程的解，则 也是解。更一般地，在可交换积分和微分的条件下，解的加权积分仍是解。

观察 2：Dirac 初值。 对

解为热核

当 时，它在分布意义下趋于 Dirac ；固定 时，它是均值 0、方差 的正态密度。

练习：令

把热方程化为 ODE，从而推导热核。

任意合理初值可表示为平移 Dirac 函数的叠加：

因此解为卷积

若积分存在且允许对积分号下求导，则该函数满足热方程，并在 时恢复初值 。

1. P. Wilmott、S. Howison、J. Dewynne，The Mathematics of Financial Derivatives。
2. S. Shreve，Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models。
3. M. Steele，Stochastic Calculus and Financial Applications。
4. J. Hull，Options, Futures, and Other Derivatives。