本讲主题：
- 风险中性定价；
- Black–Scholes 公式。
一匹马获胜概率为 20%，另一匹为 80%。第一匹马下注 10,000 美元，第二匹下注 50,000 美元。
若赔率定为 4:1：
- 第一匹获胜时，庄家盈利 10,000 美元；
- 第二匹获胜时，庄家亏损 2,500 美元；
- 庄家的现实概率期望为
若赔率定为 5:1，则无论哪匹马获胜，庄家都不赚不赔。后一种赔率不是由真实获胜概率直接决定，而是通过使两种状态的现金流完全对冲来确定；这正是复制定价的直观原型。
我们希望确定不同衍生品的价格。远期合约在
图中示例：
到期价值
欧式看涨期权在
图中示例：
到期收益在
欧式看跌期权在
示例仍取
在给定当前股票价格和股票价格动态假设后，无套利市场中衍生品价格便被唯一确定：
- 价格由标的资产和可复制交易决定；
- 不依赖市场参与者个人的风险偏好；
- 数学模型可在市场假设下计算衍生品现值及其风险。
考虑在
若
但这忽略了资金时间价值和可复制交易；无套利执行价并不由现实概率
在当前时刻：
- 借入
买入一股股票； - 签订执行价
的远期卖出合约。
若
衍生品当前价格等于能在到期精确复制其收益的投资组合当前成本。
经济中有股票
现实概率分别为
寻找股票数量
解为
由无套利，
把上页结果整理为
其中
因此在该“风险中性概率”下，股票的期望收益率等于无风险利率。
连续时间中，
其中
等价地，
假设股票服从几何 Brown 运动：
其中
其中无风险资产满足
若衍生品价格为
由
可得
复制组合的变化为
比较随机项，得到 Delta 对冲：
比较漂移项后，
股票的现实漂移
复制组合中无风险部分的价值为
因其按无风险利率增长，
代入 Itō 公式与
Black 与 Scholes 于 1973 年发表相关论文；Scholes 与 Merton 于 1997 年获得诺贝尔经济学奖。
- 任意可交易、可复制的衍生品都满足该 PDE；
- 方程不依赖股票的现实漂移
； - 推导同时给出复制和对冲策略；
- 通过变量代换，Black–Scholes 方程可转化为热方程
欧式看涨：
欧式看跌：
不同衍生品共享同一 PDE，但由各自收益决定终端和边界条件。
令
其中
在
因此
相应对数正态密度为
译注：原幻灯片密度分母漏写了
，此处采用标准对数正态密度。
更复杂的期权或更一般的模型通常没有闭式解，需要：
- 有限差分法；
- 树方法（与显式差分格式密切相关）；
- Monte Carlo 模拟。
方法选择取决于维度、路径依赖、提前行权和所需风险指标。
现代金融服务广泛使用：
- 偏微分方程；
- 数值方法；
- 随机微积分；
- 模拟；
- 统计学；
- 以及许多其他数学工具。
本页展示 Bloomberg 终端中的衍生品定价实例（来源：Bloomberg L.P.）。实际系统把市场报价、收益率曲线、波动率输入与定价模型结合，并输出理论价格及敏感度。
数字期权在
即当
图中示例：
到期收益在执行价处不连续；到期前价值则随
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