本讲主题：利率与信用的 Heath–Jarrow–Morton（HJM）模型。
HJM 是定价利率和信用衍生品的通用框架。大型银行交易数百乃至数千类衍生品，需要能迅速容纳新收益结构的统一模型与技术平台。
这类似物理学：氢原子的 Schrödinger 方程较容易解析求解，但复杂分子和晶体的能谱需要局部密度近似等先进计算方法。
金融中，Monte Carlo 模拟原则上可为几乎任何合约定价；HJM 模型自然适合该框架。在介绍 HJM 前，先从股票期权说明 Monte Carlo 如何进入金融定价。
交易商尝试匹配客户买卖订单，但无法完全匹配时必须对剩余头寸对冲。
图示为卖出股票看涨期权：收到有限权利金，但标的上涨时潜在损失无上限。交易商通过持有标的股票，并随标的和时间变化动态调整头寸来对冲。
图表展示 1990—2012 年 S&P 500 指数。长期趋势、波动簇集和危机时的大幅回撤说明，股票价格具有随机性；对数正态扩散只能作为第一近似。
股票动态通常写成漂移与扩散之和：
其解为对数正态过程：
条件密度为
因为分布可精确计算，Black–Scholes 看涨期权具有解析价格。
Itō 引理给随机函数的时间变化增加确定性二阶项：
构造
随机项被抵消，因此
得到 Black–Scholes 方程：
两个显著事实：
- 股票现实漂移
不出现在定价方程中，因为期权用股票动态对冲； - 在模型中风险可被完全消除，适当标的头寸能精确复制期权。
第二点与 Itō 引理中的确定性二阶变差项密切相关。
把时间区间
二阶 Taylor 展开后求和：
当
二阶项趋于确定性，这便产生 Itō 修正。
练习：
- 证明
； - 查阅 Hull 教材中对 Itō 引理的“证明”，识别其中不严谨之处。
模型中的完全风险消除依赖两个时间尺度：在很小的
时，许多微小独立噪声平均后消失。
业务含义是：每次小幅再平衡都有有限噪声，但聚合到较长而仍无穷小的定价区间时，噪声在理想连续对冲模型中消失。
对任意到期收益
其中
Black–Scholes 方程与热方程相似；解的 Green 函数与股票真实分布形式几乎相同，差别是贴现因子以及漂移改为无风险利率。
风险中性世界中
定价步骤：
- 模拟大量风险中性股票路径；
- 计算每条路径的到期收益；
- 对收益取平均；
- 按无风险利率贴现。
该思想不仅适用于股票，也能推广到利率和信用。风险中性世界中，可交易证券平均按无风险利率增长。
企业借款融资，贷款人收取利息。利率随时间变化，因此存在以利率为标的的衍生品市场。
货币具有时间价值。若 1 年和 2 年利率均为 5%，未来 1 美元的现值分别约为
折现因子曲线是描述货币时间价值的便利工具，通常从今天的 1 开始，随期限增加而下降。
折现因子可由瞬时远期利率表示：
图表展示 10 年期美国国债收益率的历史变化。讲义制作时利率处于极低水平，反映当时危机后的货币政策和宏观环境。
LIBOR 曾是利率衍生品的核心基准，很多贷款利率以 LIBOR 加点报价。粗略说，美元 LIBOR 表示信用良好的银行在 London 无担保短期互借美元的利率。
市场曾有活跃的 1、3、6、12 个月多币种 LIBOR。
LIBOR 互换的一方定期支付浮动 LIBOR，另一方支付预定固定利率。标准美元互换常以 3 个月 LIBOR 为浮动端。
译注：LIBOR 后来已大规模退出并由 SOFR 等无风险利率替代；本页按 2013 年课程原始语境翻译。
- 欧式互换期权：在未来到期日选择是否进入远期起始利率互换；
- LIBOR 上限/下限：未来 LIBOR 的看涨/看跌型期权组合；
- 可取消互换：一方有权提前终止互换。
这些工具用于管理利率敞口。
本页展示市场中的 LIBOR 互换报价屏幕。不同期限的固定互换利率提供构建折现曲线和远期曲线的关键输入。
利率互换包含固定端和浮动端。若已知折现曲线
浮动端加到期本金的现值等于本金
市场给出多个期限的公平互换利率。反向求解使各市场互换
本页使用传统单曲线框架，未计入 OIS 折现。
股票期权需要当前股票价格和未来股票动态；利率期权也可用 Monte Carlo，但存在关键区别：
| 特征 | 股票期权 | 利率期权 |
|---|---|---|
| 初值 | 当前价格直接可见 | 需由市场工具构造整条曲线 |
| 动态对象 | 一个点值过程 | 一维期限曲线 |
利率模型需要同时描述整条曲线随时间的演化，问题更复杂。
动态利率模型可分为：
- 期限结构模型：直接描述完整远期曲线；
- 短利率模型：只描述瞬时短利率。
典型短利率模型：
Ho–Lee：
Hull–White：
CIR：
短利率与远期利率满足
HJM 直接描述每个到期日
零息债价格为
对
求微分：
再对
令
则零息债动态为
风险中性世界中债券平均按短利率
对
给定波动率，漂移不再自由，而由无套利条件唯一决定。
- 用互换报价自举折现曲线；
- 从折现曲线得到初始远期曲线；
- 指定远期利率波动率；
- 用 HJM 约束计算漂移；
- 模拟到产品到期；
- 对收益取平均并贴现。
远期利率波动率可用互换期权市场校准。
路径相关贴现下，
借款人发行债务后可能无法偿还，这就是信用风险；违约风险越高，融资利率通常越高。
讲义当时的 10 年期示例：
- 美国政府约 1.7%；
- Morgan Stanley 约 5%；
- 希腊债券有效收益率约 25%–30%。
最重要的信用衍生品之一是信用违约互换（CDS）：
- 保护买方定期或预先支付保费；
- 参考实体违约时，保护卖方补偿债券损失。
设 CDS 保护面值
因此
其中
与折现因子类似，可用远期危险率参数化：
信用世界中可定义“风险折现因子”：未来支付 1 美元，但以参考实体未违约为条件的当前价值。
类似利率曲线，可从 CDS 市场自举存活概率。CDS 现值近似为
其中第一项为保费端，第二项为违约保护端。公平 CDS 报价使两端现值相等。
普通 CDS 主要依赖存活概率，定价相对简单；可赎回债券等产品还依赖信用和利率波动率。
示例：公司发行 10 年期、面值 1 亿美元的债券。初始：
三年后：
若公司赎回并再融资，剩余七年粗略节省
正确建模利率和信用动态有助于最优赎回决策。
类似利率 HJM，假设远期危险率由漂移与扩散组成：
零回收信用零息债价格为
债券在违约前有正价格，违约时跳至 0。
练习：对信用零息债使用 Itō 公式并对违约事件取期望，要求其风险中性平均收益率等于无风险利率，从而推导远期危险率漂移。
若利率与危险率不相关，形式与利率 HJM 相同：
因此
若利率与信用因子相关，还会出现交叉协方差项。
总体流程是：写出具有正确风险中性漂移的 SDE，模拟股票、利率和信用路径，再对收益平均并贴现。
低国债收益率促使投资者寻找更高票息。企业债可提供约 5%–6% 的税前名义收益，但承担信用风险。结构化票据则把票息绑定于复杂条件。
示例：公司发行 10 年期、面值 1 亿美元的票据：
条件为
持有人承担尾部风险：某些不利事件历史频率较低，但市场隐含概率较高，因此卖出这些风险可换取票息增强。
发行机构会：
- 用本讲的 Monte Carlo 框架为票据定价；
- 计算对股票、利率和信用的 Delta；
- 进行相应动态对冲。
上述票据停止付息的联合条件对应非常严重的经济衰退情景。
讲义指出：
- 过去十年中，30 年—2 年互换利差只在 2006 年 2 月少数几天为负；
- 但当时市场价格隐含未来十年约 80% 的天数可能为负；
- S&P 500 历史上约 94% 的天数高于 880，但市场隐含未来十年的频率仅约 75%。
历史频率与风险中性隐含概率不同；后者还包含风险溢价，不能直接当作真实世界预测。
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不保证估计收益或预测能够实现，实际业绩可能存在重大差异。所有估计应视为假设情景。接收人应独立分析并充分考虑其他信息。过去业绩不代表未来结果，价格和可获得性可随时变化。
