20-Quanto 信用对冲

本讲主题：Quanto 信用对冲，即信用工具的标的和赔付使用不同货币时的定价与对冲。

他于 2006 年 1 月以新兴市场策略师身份加入公司，此前在 Harvard University 获得化学物理博士学位，并在 Dartmouth College 获得学士学位。

主题：定价与对冲。

基本概念：

• 重点：外汇；
• 利率；
• 信用。

数学方法：

• 通过期望进行风险中性定价；
• 跳跃过程。

金融应用：

• 主权违约与货币，例如当时的 PIIGS 国家和欧元；
• Quanto 信用产品。

即期 USD/EUR 汇率表示当前 1 欧元值多少美元，也就是以美元计价的 1 欧元价格。

用 表示即期汇率。它常被建模为带漂移的 Brown 随机过程。

外汇远期是在未来 时刻用 美元交换 欧元的协议。远期汇率为 。

若 为美元（本币）利率， 为欧元（外币）利率，则连续复利下

公平远期汇率由即期汇率和两种货币的利率差决定。

译注：原幻灯片写作 ，与其“USD/EUR 为每欧元的美元价格”定义相反；上式采用标准本币/外币报价约定。

瞬时无风险利率 是常用建模近似，现实中并不直接存在。时刻 0 投入 ，在连续复利下 时变为

每种货币都有自己的利率。在 USD/EUR 报价下，风险中性动态通常为

解为

该模型可用于定价外汇远期和外汇期权。

假设：

• 当前 USD/EUR 即期汇率为 1；
• 一个月远期汇率也为 1。

若一个月后 USD/EUR 大于 1，则输；小于 1，则赢。

结果	下注 A	下注 B
USD/EUR	USD	EUR
USD/EUR	USD	EUR

问题：A、B 哪一个更好，还是两者相同？

一个月后情景	A	B	A 减 B
USD/EUR	USD	EUR USD	USD EUR
USD/EUR	USD	EUR USD	USD EUR

讲义以近似换算列出 与 欧元；核心结论不变：两种情景下 A 都优于 B。

尽管两份赌注都表现为“赢或输 100 单位货币”，下注 A 在两个情景中都更好。原因是 B 的赔付单位本身价值随汇率变化。

当“是否获胜”与赔付货币的价值相关时，赔付货币会改变合约价值。名义上对称的赌局不再经济对称。这正是 Quanto 产品的核心效应。

意大利以欧元和美元等多种货币发行债券，当时总规模约 1.3 万亿美元。不同币种债券存在交叉违约，即发行人违约时各币种债券通常同时违约。

发行美元债的可能原因：

• 接触更大或不同的投资者群体；
• 意大利是出口国，部分收入以美元计价。

信用利差是相对基准融资利率的额外溢价：

• 欧元融资相对德国国债；
• 美元融资相对美国国债。

问题是：意大利偏好哪种货币融资？投资者又偏好哪一种？

意大利在美元债与欧元债上支付的信用利差是否相同？直觉上，同一发行人的违约事件相同，但违约与汇率可能相关，因此不同币种的风险中性信用利差可以不同。

意大利信用利差与 EUR/USD 汇率都具有波动性。

需要回答：

• 如何比较欧元债和美元债的价值？
• 如何用欧元债复制美元债？
• 赔付事件是否与赔付货币价值相关？

理论步骤：

1. 分析两种工具在各状态下的现金流；
2. 用数学金融构造复制交易并定价；
3. 从结果中提炼交易直觉和经验规则。

图表比较 5 年期意大利欧元债与经基差调整的美元债信用利差。两条曲线并不完全重合，说明仅靠同一发行人和同一期限不能消除币种、流动性、资金和违约—汇率联动的影响。

考虑两只相同期限、到期支付 100 的零息债：

• ：支付 100 美元，价格 ；
• ：支付 100 欧元，价格 ；
• 即期汇率 ；
• 到期 的远期汇率 。

以 1,000 只欧元债为例：

• 买入 1,000 只 ，成本 ；
• 卖空 只美元债，收入 ；
• 零成本签订外汇远期，在 时卖出 100,000 欧元并买入美元。

若债券不违约：

1. 欧元债支付 100,000 欧元；
2. 外汇远期把它换成 美元；
3. 该美元金额正好偿还美元债空头。

净现金流为 0。

若初始成本不为 0，即

能否据此套利？必须继续检查违约状态。

套利要求从零资金开始，且不亏损并以非零概率盈利。

若两只债券违约，并都按面值的 25% 回收：

• 欧元债收到 25,000 欧元；
• 用外汇远期的一部分换得 美元；
• 正好偿还美元债空头的回收款；
• 但原外汇远期仍有 75,000 欧元的名义本金未被债券现金流覆盖。

若违约时欧元大幅贬值，策略可能大赚；若升值，则可能大亏。因此它不能在全部情景中复制现金流，不构成套利。

图表展示 2001 年 12 月 30 日阿根廷违约前后比索兑美元大幅贬值。现实证据说明，主权信用事件和本币汇率跳跃可能高度相关。

需要一个同时包含以下特征的模型：

• 发行人可能违约；
• 汇率在违约时跳跃。

若对每项随机风险源至少有一项独立对冲工具，模型市场可能完备。完备市场中存在复制策略，因而价格唯一。

实践中常为了可定价性构造完备模型，即便某些理论对冲工具并不活跃交易。

1. 定义所需动态：
   • 检查模型市场是否完备；
   • 检查是否包含市场的重要特征。
2. 为所有工具定价：
   • 解析求解；
   • 或使用 PDE、Monte Carlo 等数值方法。
3. 用目标工具价格对对冲工具价格的敏感度确定对冲比率：

以随机时刻 表示首次违约，并把它建模为强度为 的 Poisson 过程首次跳跃时刻。若 为常数，给定 时仍未违约，则

违约时间条件密度为

在当前时刻的瞬时违约密度为

称为违约强度或危险率。

假设违约时汇率乘以固定因子：

定义

设

为了在简化条件下使

漂移应补偿跳跃的期望：

已经完成：

• 定义带违约跳跃的 动态；
• 推导未来汇率分布。

接下来：

• 推导 的动态；
• 定价欧元债和美元债；
• 推导对冲比率；
• 构造并验证复制组合；
• 提炼交易经验规则。

对跳跃过程使用 Itō 公式：

从时刻 到 的解可写为

它在违约前按补偿漂移变化，并在违约时乘以 。

考虑两只零回收零息债：

• 一只到期支付 1 美元；
• 一只到期支付 1 欧元。

忽略利率并令当前时刻为 0。美元债以美元计价为

欧元债的美元价值涉及“存活”与汇率联动。在讲义的最小模型中，

为构造零成本组合：

• 卖出 1 只美元债；
• 买入

只欧元债。

若尚未违约，

欧元债头寸换算后的美元价值恰等于美元债空头价值：

组合在违约和未违约状态下都被对冲，但策略是动态的，并依赖：

• 信用风险或违约概率；
• 违约时汇率跳跃幅度。

若回收率 ，讲义的简化价格为

此时单靠上述两只债券不能精确复制。即使模型和工具都很简单，对冲仍不平凡。

进一步把汇率建模为跳跃—扩散过程：

可作为期末论文题目：

• 在该模型下定价美元和欧元零息、零回收债券；
• 确定动态对冲策略；
• 用 Monte Carlo 验证。

模型有扩散和违约跳跃两种风险源，因此至少需要两项独立对冲工具；外汇远期是自然候选。

实际应用还需加入：

• 随机利率与期限结构；
• 随机危险率；
• 随机汇率；
• 利率、危险率与汇率扩散项之间的相关性；
• 不确定且非零的回收率；
• 多个信用主体的联合建模。

一般不存在解析解，需要 Monte Carlo。但违约属于罕见事件，直接模拟效率低。更好的方法是只对危险率、利率和汇率模拟，并对违约时间分布解析积分或条件积分。

• 带跳跃的股票模型常能更好解释短期限波动率偏斜；

• Quanto 信用违约互换类似保险，但保险名义本金使用与基础债券不同的货币；

• 同样技术可用于违约时利率跳跃。

• John Crosby，关于跳跃扩散模型及股票价格对冲的讲义，可作为论文资料；

• 信用模型：Rutkowski 的论文及下一讲关于危险率模型的严格讨论。

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