22-我们能否恢复概率？

本讲主题：我们能否恢复概率？（Can We Recover?）

“我们能否恢复？”可能指：

1. 能否从信用危机引发的系统性风险中复苏；
2. MIT 教授 Steve Ross 近期论文中的主要“恢复”结果；
3. 学界和业界对第 2 项的反应，尤其是讲者本人的反应。

本讲实际讨论第 2 和第 3 项：能否从市场价格恢复市场信念所对应的概率。

Steve Ross 的论文《The Recovery Theorem》给出一组充分条件：若精确知道某日全部 Arrow–Debreu（AD）证券价格，就能唯一确定该时点的“自然”概率。

通过额外且一致的假设，可由衍生品价格截面唯一确定 AD 状态价格截面。若两组条件同时成立，衍生品价格便揭示市场对标的未来的前瞻性看法，包括罕见大幅变动的概率与均值。

这与传统时间序列方法形成对比：后者假设未来类似过去，向后观察，而且对这些量通常只能得到噪声很大的估计。

• ：物理概率测度；
• ：无套利下使货币市场账户贴现价格成为局部鞅的风险中性测度；
• ：从市场价格恢复出的“代表性信念”测度。

若市场信念准确反映现实，则 。本讲允许二者不同，因此必然要求等价的是 与 ，而非 与 。

相信市场有效的人可把后文所有 直接理解为 。

Ross 从“存在代表性代理人”的经济中恢复 。这一假设对金融经济学家较自然，但对业界和数学金融研究者未必如此。

本讲改用另一组充分条件：关注一个被称为

• 自然计价物；
• 增长最优投资组合；
• Kelly 投资组合；
• Long 计价物投资组合

的自融资组合价值，并在不显式引入代表性代理人偏好的情况下恢复 。

1. Arrow–Debreu 状态价格与市场信念；
2. 有限状态 Markov 链的 Ross 恢复；
3. 单变量扩散中的计价物变换；
4. 单变量扩散中的计价物投资组合；
5. 有界状态空间、时间齐次扩散的 恢复；
6. 无界状态空间中的失败与成功。

各部分使用的运行假设可能不同。

二元期权在某事件发生时支付 1 单位货币，否则支付 0。AD 证券则针对标的状态 的基本不确定性。

在单期离散状态模型中，给定 ，

表示一份在 时支付 1 美元、否则支付 0 的证券在时刻 0 的价格。

Breeden–Litzenberger（1978）表明， 可视为以 为中心的极窄蝶式价差价格。全部执行价期权价格可确定给定初始状态 时的所有终端状态价格。

再施加最近邻转移或空间齐次等动态限制，可推断不同初始状态下的完整状态价格矩阵 。本讲假设这一步已经完成。

在多期离散时间、离散状态模型中，AD 证券也可针对整条路径。

例如两期三日期模型中，

表示给定 ，仅当 且 时支付 1 美元的证券初始价格。它是路径依赖的，而单期 只依赖终端状态。

令 表示仅当 时支付 1 美元的路径无关 AD 证券价格。

买入所有可能中间状态 的路径证券 ，可复制这一终端状态证券。因此无套利要求

由于路径证券需要额外条件，其价格通常满足

（若从时点 1 到 2 的相关利率非负）。

定义

它表示在初始状态 、中间状态 条件下，从 到 的状态价格。

和 都是正测度，但除非利率为 0，其总和不一定为 1，因此不是概率。

由

以及第 10 页的无套利关系，

这类似 Chapman–Kolmogorov 方程，但其中对象是含贴现与风险溢价的正状态价格测度。

若

不依赖更早状态 ，则称 在状态价格测度 下具有 Markov 性。此时

即矩阵乘法。

若把全部日期同时平移不会改变转移状态价格，则过程还具有时间齐次性。本讲后续始终假设从市场提取的 AD 价格与 Markov 结构一致。

希望了解市场认为 在未来各时点进入各状态的概率。但 AD 价格同时混合了：

• 货币时间价值；
• 风险厌恶或风险溢价；
• 状态发生频率。

目标是把这些影响分离，建立正状态价格测度 与市场信念概率测度 之间的一一映射。

把 理解为嵌入市场价格的未来状态频率。我们由衍生品价格和充分强的假设先获得 ，但 仍未知。

Ross 的恢复定理给出充分条件，使已知 能唯一确定 。

• 定价矩阵：；
• 自然概率转移矩阵：；
• 定价核：

在代表性投资者、时间可加偏好和常数主观贴现因子 下，

定价核综合反映货币时间价值与风险厌恶。

若存在代表性代理人，且定价矩阵 为正矩阵或不可约矩阵，则寻找自然概率转移矩阵、贴现因子 和定价核 的问题存在唯一正解。

因此，给定完整状态价格，存在且仅存在一个相应自然测度和定价核。

• 输入定价矩阵 必须唯一；在无套利下这等价于市场完备；
• 在 下被假设为有限状态、时间齐次 Markov 链；
• 定理还推出 在 下也是有限状态、时间齐次 Markov 链；
• 转移矩阵、 和定价核都唯一；
• 可以大于 1，定价核也不一定随状态下降。

业界常使用连续状态扩散。若 是单变量时间齐次扩散，能否从含杀死率的状态价格生成元

恢复自然测度生成元

另一问题是能否绕开代表性投资者。若只考虑经济中由一个状态变量驱动的小型资产子集，这一假设可能比“整个经济由单一状态变量驱动”更合理。

从本节起使用连续时间、连续状态空间。

我们把计价物从支付“美元”股息的货币单位，换成另一项不支付股息的资产。标准 El Karoui–Geman–Rochet 定理通常在两个不支付股息资产之间变换。

下一节将采用 John Long 的计价物投资组合。本讲在受限框架中推导这些一般结果，最终用于从 恢复 。

假设：

• 有货币市场账户，其增长率定义随机短利率 ；
• 有 项风险资产；
• 这 项资产之间无套利；
• 观测 AD 状态价格与一个驱动所有价格的单变量扩散 一致。

第一项推出存在风险中性测度 ；第二项推出该子市场中的 唯一。

存在已知函数

在唯一风险中性测度 下，

其中

令 为新计价物的美元价值，并写成

一份美元计价 AD 证券的“新计价物单位价值”为 。

若 是由资产集合构成的自融资组合，则

称 是时空调和函数。

对到期状态 、到期日 的 AD 证券持有 份，则到期支付 1 单位新计价物。

定义变换后的密度

是“缺陷概率”型状态价格密度：利率非零时积分不为 1。若利率为 0 且满足时间齐次条件，该变换退化为概率论中的 Doob -变换。

令

对比率使用 Itō 公式：

最后两个二次变差项说明：当计价物路径具有无限变差时，变换后的百分比变化并不只是分子收益减分母收益。

若 有限变差，协变差项为 0；若 无限变差，必须保留 Itō 修正。

整理可得

这一关系用于推导计价物变换后的新生成元。

定义

利用 与 的调和性，

因此 属于新生成元

的零空间。计价物变换不改变扩散系数，只改变漂移。

由基本解表示，

所以

是真正的转移概率密度。若由此定义测度 ，则在 下

扩散系数仍为 。

若新计价物为货币市场账户，得到风险中性转移密度 。其他计价物产生其他等价鞅测度。

这些测度通常被视为数学上的“虚构”测度，而 表示市场信念。

问题是：是否存在一个特殊计价物，使 的计价物变换恰好等于 的转移密度？下一部分表明，在无套利下答案为是。

Long（1990）证明：若资产集合包含货币市场账户且无套利，则存在一个始终为正的自融资组合，即计价物投资组合。

若其价值为 ，则每项资产的相对价格

在 下是鞅。

对任意 ，

因此，以计价物投资组合为损益单位时，所有资产具有相同的条件平均相对收益。

在完备市场中，每份 AD 证券都能复制，因此

在单变量扩散设置中，

即市场信念转移密度就是状态价格密度关于 Long 计价物投资组合的变换。

取 ，则

其中

从 到 后， 的漂移增加

下一部分通过进一步限制 的形式和动态来唯一识别 。

再假设：

• 与 在状态价格框架下时间齐次；
• 只依赖状态 ；
• 的状态空间 有界。

这些条件将决定 在 下的动态及给定资产集合的全部现货价格。

在 下，

计价物投资组合满足

由市场已知 ，未知的是 。

设

Itō 公式给出

因 都只依赖 ，积分后价值函数可乘法分离：

自融资条件要求

代入 ，得到

以及特征值问题

在有界区间和适当分离边界条件下，这是正则 Sturm–Liouville 问题。

存在最小特征值

及其对应的严格正特征函数 ，且 除正比例因子外唯一。其他特征函数至少变号一次。

可数值求解。

计价物投资组合价值为

（忽略任意正比例因子）。因此其波动率唯一确定：

这完成了从状态价格中识别计价物投资组合的关键步骤。

下

下

因此已知 下的漂移与扩散系数。

计价物变换给出

所以

既然 和 AD 状态价格密度都已知， 的转移概率密度也已知。若 ，则短利率在 下的转移分布也随之确定。

第 项资产的 动态为

在 下满足

资产瞬时算术风险溢价等于它与 的二次协变差增量。

许多衍生品模型使用无界状态空间。例如几何 Brown 运动的状态空间为 。

前述证明依赖有界状态空间。在无界区间上可采用 Hilbert 空间方法，但要求生成元定义域中的函数平方可积。

这些技术条件不适用于标准 Black–Scholes 模型，因此当前结果不能从股票期权价格唯一恢复该模型中股票的 动态。

CIR 模型在 下的短利率生成元为

虽然状态空间 无界，仍可恢复 生成元；它也属于 CIR 类，且恢复出的均值回归速度满足

更一般地，对具有仿射系数的连续多变量扩散，Linetsky 等研究表明可进行恢复。无界状态空间上何时一般可恢复仍是开放问题。

本讲：

• 回顾 Ross 定理；
• 提出不依赖代表性代理人偏好的替代推导；
• 对有界状态空间、时间齐次扩散，通过 Long 计价物投资组合和变量分离，把市场信念与风险溢价分离；
• 对无界状态空间，Black–Scholes 型模型可能失败，而 CIR 模型可以成功。

建立适用于一般无界扩散的恢复充分条件仍是重要开放问题。

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