02-2-极限与连续性三角极限

极限、连续性与三角函数极限

更多关于导数的“变化率”解释

平均变化率 瞬时变化率
示例

1. = 电荷 电流
2. = 距离 速率（速度）
3. = 温度 温度梯度
4. 测量的灵敏度（敏感性）：在问题集 1 上进行了一个示例。在 GPS 中，无线电信号给我们提供了 ，但存在一定的测量误差（参见图 [2] 和图 [3]）。问题是我们能多精确地测量 。为了做出决定，我们找到 。换句话说，这些变量是相互关联的。我们想找出其中一个变量的变化如何影响另一个变量。

极限与连续性

简单的极限

对于一个简单的极限，你只需代入极限值就可以得到一个有意义的答案。
请记住，

这绝不是一个简单的极限，因为分母 是不允许的。（极限 是在 的隐式假设下计算的。）

连续性

我们说 在 处连续，当

这个不连续函数可以在图 [4] 中看到。对于 ，

但是 。（也可以说，函数 在 0 处左连续，而不是右连续。）

1.可去不连续点

可去不连续点的定义
右极限： 意味着对于 的 。
左极限： 意味着对于 的 。
如果 （即极限存在） 但不等于 ，或者 是未定义的，我们就说这个不连续点是可去的。
例如， 对于 是有定义的。我们稍后将看到如何求 时的极限。

2.2. 跳跃不连续点

3. 无穷不连续点

右极限： ；
左极限：

4. 其它比较恶心的不连续点

这个函数甚至没有趋向于 ——说它趋向于任何值都是没有意义的。对于像这样的情况，我们说极限不存

导数的图像

请注意，函数 的图像与导函数 的图像不相似！（您可能还会注意到 是一个奇函数，而 是一个偶函数。奇函数的导数总是偶函数，反之亦然。）

南瓜坠落，第二部分

这次，有人将一个南瓜扔过校园里最高的建筑物。

两个三角函数极限

注意：在下面的表达式中，是以弧度计量的——不是度！

下面是第一个极限的几何证明：

想象一下当 变得非常小时（参见图 [13]）图像会发生什么。当 时，我们看到 。

为什么 ?

• 几何理解 (如图 )：
  • 当 非常接近 0 时（也就是角变得非常小），我们关注在单位圆中的一个扇形。
  • 是三角形的垂直高（对边）。
  • 是对应圆弧的弧长。
  • 当 时，这个三角形的斜边（半径 ）几乎与 轴重合，三角形的垂直高 几乎与圆弧的弧长 相等。
  • 因此， 趋近于 。
  • 结论： 当 时，我们有 。

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涉及余弦的第二个极限呢？

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从图 [15] 我们可以看出，当 时，短线段的长度 变得比沿弧线的垂直距离 小得多。因此，。

2. 为什么 ?

• 几何理解 (如图)：
  • 当 非常接近 0 时：
  • 是图上红色的水平短线段，它表示半径（长度为 1）与 轴上的投影 之间的极短距离。
  • 是圆弧的弧长。
  • 当 时，我们比较 和 这两个无穷小量。
  • 接近 的速度比 更快（它是 的二阶无穷小，即 ）。
  • 一个更快速趋近于 0 的量除以一个较慢趋近于 0 的量，结果趋近于 0。
  • 结论： 当 时， 趋近于 0。

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总结： 掌握了弧度制和单位圆几何关系后，您就可以直观地理解，当角度极小时， 和 几乎相等，而 趋近于 0 的速度比 快得多。

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我们以一个定理来结束本次内容，该定理将有助于我们下次计算更多的导数。

定理：可导蕴含连续。

如果 在 处可导，那么 在 处连续。
证明： 。

请记住：你绝不能除以零！第一步是通过乘以 来实现的。这看起来似乎是违反规定的，因为当 时，我们乘以了 。但是当计算 时的极限时，我们总是假设 。换句话说，。因此，该证明是有效的。

附：为什么乘以，就变成导数的定义式了？

1. 概念回顾：平均变化率

在微积分中，导数是用来测量函数在某一个点的瞬时变化率。

首先，我们从两个点之间的平均变化率（或称为割线斜率）开始：

• 考虑函数 上的两个点： 和 。
• 和 之间的割线斜率（平均变化率）是：

2. 核心思想：取极限得到瞬时变化率

导数的思想是：我们让第二个点 无限趋近于第一个点 。

• 当 趋近于 时，水平距离 趋近于 0，垂直距离 也趋近于 0。
• 这条割线 的极限位置就是函数在点 处的切线。
• 切线的斜率，就是函数在 处的瞬时变化率，我们称之为导数，记为 。

3. 导数的定义式

因此，函数 在点 处的导数 的定义式就是这个平均变化率的极限：

总结： 当您看到 这个形式时，它本身就是导数 的代数表达！

证明中的应用：为什么变成这样就是导数定义式了？

现在我们回到 可导蕴含连续 的证明：

我们通过代数变形得到了：

根据极限的乘法法则，我们拆分为：

1. 左侧的极限： 观察方框中的部分 。
2. 对照： 它完全匹配了上面列出的导数定义式。
3. 代入： 因为我们已知函数 在 处可导，这意味着这个极限是存在的，并且它的值就是
4. 替换： 所以我们用 替换了左侧的整个极限表达式。

这就是证明能够继续进行的关键：通过代数构造，将需要证明的极限 (连续性) 转换成一个包含已知条件 (可导性) 的表达式。