02-6-指数和对数、对数微分法、双曲函数

指数和对数、对数微分法、双曲函数

求指数和对数的导数

背景

我们总是假设底数 大于 1。

为了定义实数 的 ，通过连续性进行填充。

今天的主要任务：求

我们可以写成

我们可以提取公因式 :

我们称

我们尚不知道 是什么，但我们可以说

这里有两种描述 的方式：

1. 解析上， 在 处的值。

2. 几何上， 是 图像在 处的斜率。

弄清 是什么的诀窍是提出这个问题，并将 定义为满足 的数。现在我们如何确定存在这样一个数 呢？首先请注意，随着底数 的增加，图像 变得更陡峭。接下来，我们将通过几何方式估计 和 时的斜率 。请看图 2 中 的图像。 图像上从 到 的割线斜率为 1。因此， 在 处的斜率更小：（参见图 2）。

接下来，请看图 3 中 的图像。 图像上从 到 的割线斜率为 1。因此， 在 处的斜率大于 （参见图 3）。

在 2 和 4 之间存在一个底数，其在 处的斜率为 1。

因此，我们可以将 定义为满足以下条件的唯一数字：

或者，换句话说，

或者，再换句话说，

是什么？我们刚刚定义了 ，并且 。所以

自然对数（ 的反函数）

为了更好地理解 ，我们研究自然对数函数 。该函数的定义如下：

（或）

请注意，即使 是负数， 始终是正数。

回顾 ；对于 ，；对于 ，。另请回顾因此，我们可以将 定义为满足以下条件的唯一数字：

或者，换句话说，

或者，再换句话说，

是什么？我们刚刚定义了 ，并且 。所以

自然对数（ 的反函数）

为了更好地理解 ，我们研究自然对数函数 。该函数的定义如下：

（或）

请注意，即使 是负数， 始终是正数。

回顾 ；对于 ，；对于 ，。另请回顾

让我们使用隐函数微分法来求 。令 。我们想要求 。

最后， 是什么？

我们可以使用两种方法：

方法 1：以 为底，并使用链式法则。

将 重写为 。那么，

这看起来可能很难微分。让我们循序渐进：

根据链式法则，

记住， 只是一个常数——而不是变量！因此，

或

回顾

所以现在我们知道 的值：。

即使我们坚持从另一个底数（如 10）开始，自然对数仍然会出现：

底数 最初可能看起来很奇怪。但是，它无处不在。过了一段时间，你就会体会到它有多么自然。

方法 2：对数微分法。

这个方法的思路是通过求 来代替求 。有时这种方法更容易。令 。

由于 且 ，我们也可以写成

将此应用于 。

（记住， 是一个常数，而不是变量。）因此，

---

示例 1.

对于带有变量（“移动”）指数的函数，您应该使用底数 或对数微分法。在这个例子中，我们将使用后者。

因此，

如果您想使用以 为底的方法来解决此问题，您可以写 ，然后使用链式法则进行微分。它会得到相同的结果，但需要写更多步骤。

链式法则的另一种记法

示例 1.（续） 函数复合 和

注：。不可交换！

---

示例 2. 使用对数来计算 。

因为指数 发生变化，最好求对数的极限。

我们知道

此表达式有两个相互竞争但平衡的部分：，而 。

接下来，因为

取极限：当 时，，因此

综上所述，

我们刚刚发现，当 时，。

如果 ，那么当 时，。换句话说，我们已经求出了想要的极限：

注释 1. 我们从未算出 的确切数值。现在我们可以使用这个极限公式； 就能很好地近似 的实际值。

注释 2. 对数在所有科学甚至金融领域都有应用。想想股票市场。如果我说今天市场下跌了 50 点，你需要知道下跌前的市场平均值是 300 点还是 10,000 点。换句话说，你关心的是百分比变化，或者是变化量与起始值的比率：