线性和二次逼近
今天，我们将使用微分来进行逼近。
线性逼近
切线逼近函数 。它在切点 附近提供一个很好的逼近。然而，当你远离 时，逼近会变得越来越不准确。
例 1. ， （基点）
改变基点：
基点 。
线性逼近的基本列表
在这个列表中，我们总是使用基点 并假设 。
- （如果 ）（参见图 2 的 a 部分）
- （如果 ）（参见图 2 的 b 部分）
- （如果 ）
- （如果 ）
- （如果 ）
证明
证明 1： 取 ，则 且
因此使用基点 时，。（证明 2, 3 类似。我们已经证明了 4。）
证明 5：
例 2. 求 在 附近的线性逼近。
我们可以计算 并求 。但相反，我们将通过代数组合基本的逼近式来完成。
将这两个逼近式放在一起：
此外，（使用 ，其中 ）。
现在，我们丢弃最后一个 （和更高阶）项，因为我们在进行这些逼近时已经舍弃了许多其他的 （和更高阶）项。记住，我们假设 。这意味着 非常小， 甚至更小，等等。我们可以忽略这些高阶项，因为它们非常非常小。
因为 ，我们可以直接从我们的线性逼近中得出 和 ，这比计算 要快。
例 3.
在第一次考试中，你被要求计算 。最快的方法是使用单元 1 的工具，如下所示：
（因为 。在 时，。）
现在我们可以用不同的方式解决相同的问题，使用线性逼近。
因此，
例 4：怪异星球
假设我们在怪异星球上，一个卫星正以极高的速度从我们的头顶呼啸而过。我们想找出时间膨胀（来自狭义相对论的一个概念），即卫星上的时钟相对于我手表上的时钟所经历的时间。我们借用狭义相对论的以下公式：
是卫星上时钟经过的时间， 是我手表上经过的时间， 是卫星的速度， 是光速。
快捷方法到两步过程 是写成：
这里， 是卫星上时钟测量的时间， 是我的手表上测量的时间。我们对这个公式进行线性逼近：
如果 ，光速 ，则 。地面和卫星上的时间差异几乎没有。尽管如此，工程师们仍使用这种逼近（连同其他几个类似的逼近）来校准 GPS 卫星上的无线电发射器。卫星以略微偏移的频率发射。
二次逼近
这些更复杂。它们仅在需要更高精度时使用。
几何图形： 二次逼近给出了一条最适合函数 的抛物线。例如，让我们考虑 （参见图 4）。如果 ，那么 ，且：
你可能想知道 项前面的 是从哪里来的。原因在于对于二次函数，这个逼近是精确的。例如，考虑二次函数：
设定基点 。然后，
0.0.1 基本二次逼近
- （如果 ）
- （如果 ）
- （如果 ）
- （如果 ）
- （如果 ）
证明： 证明这些公式就是计算每种情况下的 、、。我们来进行第 4 种情况的证明：
现在我们对我们的怪异星球的例子应用二次逼近，看看结果如何。
（使用第 5 种情况，其中 ， ）
由于 ，所以最后一项将是 数量级。即使是最好的原子钟也无法测量这种精度水平的时间。由于二次项太小了，在这种情况下我们不妨忽略它，并坚持使用线性逼近。
例 5.
让我们求出这个表达式的二次逼近。我们可以将其重写为 。使用每个因子的逼近式，得到：
将这两个多项式相乘，并只保留 和更低阶的项：
（注意：我们丢弃了 和更高阶的项。这是一个二次逼近，所以我们不关心任何高于 的项。）
