03-2-曲线草图的绘制

曲线草图

目标： 使用 和 的性质来绘制 的图形。我们希望图形在定性上正确，但不一定按比例。

典型图示：在这里， 是最小值，而 是发生该最小值的点。

注意，对于 ，。换句话说， 在临界点的左侧是递减的。对于 ，： 在临界点的右侧是递增的。

另一种典型图示：在这里， 是临界（最大）值，而 是临界点。 在临界点的右侧是递减的，在临界点的左侧是递增的。

曲线草图绘制的规则

1. （预备知识）描绘函数 的不连续点——特别是无穷不连续点！
2. 找到临界点。这些是 的点（通常是斜率从负变为正，或反之的点）。
3. （预备知识）描绘临界点（和临界值），但只有在很容易做到时才这样做。
   (a) 决定 在临界点之间区域的符号（如果尚未明显）。
4. （预备知识）找到并描绘 的零点。这些是使得 的 值。只有在很容易做到时才这样做。
5. （预备知识）确定函数在端点（或在 ）处的行为。

例 1.

1. 没有不连续点。
2. ，所以 在 处。
3. (a) 在 处，。
   (b) 在 处，。在图上标记这两个点。
4. 找到零点：，所以零点在 处。
5. 函数在 处的行为。
   当 时， 项占主导地位，所以 。
   同样地，当 时，。

将所有这些信息放在一起，我们得到图 3 中所示的图形。

让我们做第 3b 步（ 的符号）来重复检查一致性。

当 时 ；当 时 。果然，在 和 之间， 是递增的，而在其他地方都是递减的。

例 2.

这个例子说明了在查看函数的导数属性之前，找到函数的不连续点是多么重要。我们计算导数：

警告：导数从不为正，你可能会认为 总是递减的，并且它的图形看起来像图 4 中的样子。

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但正如你可能知道的那样， 的图形看起来根本不像这样！它实际上看起来像图 5。事实上， 是递减的，除了在 处，它从 跳跃到 。这就是为什么我们必须警惕不连续点。

示例 3. .

在 处有一个临界点 。在 的两侧，，所以 处处递增。在这种情况下，在临界点处 的符号不发生变化，但图线会趋于平坦（参见图 6）。

示例 4.

（注：此函数仅对 有定义）

当 趋近于零时，会发生什么？设 。那么，

换句话说，当 趋近于 时， 趋近于 。

接下来，我们想要求出临界点 (critical points)。

换句话说，临界点是 （来自上一页）。临界值是

接下来，求该函数的零点 (zeros)：

因此， 发生在 时。

当 时，会发生什么？这次，考虑 。

因此，当 时，。将所有这些信息结合起来，就得到了图 7 中的图线。

最后，让我们用我们从步骤 3b 得到的信息来核对一下这张图：

果然，该函数在 和临界点之间是递增 (increasing) 的。

二阶导数信息

当 时， 递增 (increasing)。当 时， 递减 (decreasing)。（参见图 8 和图 9）。

因此，二阶导数的符号告诉我们图线的凹性/凸性。因此，二阶导数主要有两个用途：

1. 判断一个临界点是极大值还是极小值。这被称为二阶导数检验法 (second derivative test)。

		临界点是:
0	负值 (negative)	极大值 (maximum)
0	正值 (positive)	极小值 (minimum)

2. 凹面/凸面 “修饰 (decoration)”。

的点被称为拐点。通常，在这些点处，图表的凹性会从向上变为向下，反之亦然。请参阅图 10 了解这在例 1 中是如何体现的。