03-7-微分与原函数

微分与原函数

新记法：
微分

和 都称为微分。你可以把

看作是微分的商。它的一种用途是线性近似。

示例 1. 近似

方法 1（线性近似方法回顾）

一个好的基点是 ，因为
设 。
类似地，

方法 2（回顾）

接下来，使用近似公式 ，其中 且

这与我们从方法 1 得到的结果相同。

方法 3（使用微分记法）

我们需要 ，因为 当 时，

支撑这三种方法的底层原理是

原函数

意味着 是 的原函数。
另一种说法是：
示例：

1. ，其中 是任意常数。
2. 
   对于
3. （这解决了第 2 条中 的特殊情况。）
5. （其中 表示“反三角函数”或反正弦，而不是 ）

属性 3 的证明：绝对值 对正 和负 都给出了正确的答案。
我们现在对 的情况进行复查：

原函数对加性常数的唯一性。

如果 且 ，那么 （其中 是某个常数因子）。
证明：

回顾我们作为中值定理的推论证明了如果一个函数的导数为零，那么它就是常数。
因此 （对于某个常数 ）。即

换元法。

示例 1.
换元：

因此，

示例 2.
另一种求原函数的方法是“高级猜测”。首先写成

猜测： 检验一下。

因此，

示例 3.
猜测： 检验一下：

因此，

示例 4.
猜测： 再次求导检查：

因此，

示例 5.
另一个同样可接受的答案是

这看起来像是一个矛盾，所以我们来检查我们的答案：

且

所以这两个都是正确的。我们如何解决这个明显的悖论呢：两个答案之间的差是一个常数。

因此，

这两个答案实际上是等价的。常数 从一个答案到另一个答案移动了 。
示例 6.
（我们假设 ）
设 。这意味着 。将这些代入积分中得到