08-第6b讲-中心极限定理

1. 平均值的标准差

设

为独立同分布随机变量，每个变量的均值为 、标准差为 。样本平均为

由期望的线性，

由独立变量方差可加，

因此

平均值与单次测量有相同均值，但标准差更小，所以通常是对 更稳定的估计。

2. 标准化

若随机变量 的均值为 、标准差为 ，其标准化变量为

它的均值为

方差为

所以标准差也为 1。标准化会消除原变量的物理单位。

若 为正态变量，则 恰为标准正态变量；若 近似正态，则标准化后的 近似标准正态。

3. 中心极限定理

设 独立同分布，且具有有限均值 和有限正方差 。定义

有

以及

和与平均值具有同一个标准化形式：

中心极限定理断言，当 很大时，

等价地，

“近似”表示标准化变量的分布函数随 收敛到标准正态分布函数。

4. 图形直观

原讲义依次展示了三类总体的标准化样本平均：

• ：；
• 均匀分布：；
• 指数分布：。

伯努利总体是离散的，均匀总体是平顶的，指数总体明显右偏；但样本量增加后，它们的标准化平均分布都逐渐接近钟形的 。

收敛速度取决于原分布形状。对称且尾部较轻的分布往往较快；明显偏斜或重尾分布可能需要更大的 。

未标准化的伯努利样本平均仍位于 ，并且可能值之间的间隔为 。随着 增加：

• 分布仍以 为中心；
• 标准差按 缩小；
• 离散尖峰越来越密；
• 整体轮廓越来越接近窄的正态曲线。

5. 正态分布经验概率

若 服从均值 、标准差 的正态分布，则

因此第一个概念题答案为 。

又因均值两侧 2 个标准差内约含 的概率，左右两尾共约 ，故

6. 民意调查例题

随机调查 400 人。假设总体中：

• 支持四人团队；
• 支持 Jen；
• 支持 Jerry。

(a) 至少 55% 支持四人团队

令 为第 人是否支持团队的指标，则

样本支持率 近似满足

其标准差为

标准化阈值为

所以

用 95% 经验法则粗略计算则约为 。

若对“至少 220 人”使用连续性校正，边界取 ，得到约 。

(b) 少于 20% 支持 Jen

对 Jen，。样本支持率近似满足

标准差为

不作连续性校正时，

所以

严格的“少于 ”即人数少于 80；用 作连续性校正，近似概率约为 。

7. 用九次十面骰模拟标准正态

一枚公平十面骰取值 ，已知

独立掷 9 次，并令 为平均点数。则

输出标准化值

由中心极限定理， 的分布近似 。等价地，若九次点数之和为 ，则

原讲义的模拟直方图显示，虽然只有 9 次掷骰，标准化结果已经与叠加的标准正态密度较为接近。

8. 连续性校正

用连续正态分布近似离散分布时，整数点所代表的概率质量应对应以该整数为中心、宽度为 1 的区间。

例如

则

用

近似 。

事件 包含整数 。直接近似会使用

而连续性校正把整数 4 的整个概率柱纳入，使用

一般规则包括：

原讲义的 CDF 对比图显示，校正后的正态近似通常更贴近二项分布的阶梯状 CDF。

9. 附加题：舍入误差

会计把每项数值四舍五入到最接近的整数美元。假设每项误差独立且

则

300 项总误差

具有

所以标准差为 5。由中心极限定理，

总误差超过正的 5 美元的概率约为

若“超过 5 美元”指绝对误差 ，则两尾概率约为

10. 大数定律与中心极限定理的区别

大数定律说明

在概率意义下成立，回答“平均值会靠近哪里”。

中心极限定理说明标准化误差

近似服从标准正态，回答“误差的形状和尺度是什么”。它因此可以近似计算有限大样本的概率。

本讲要点

1. 样本平均的标准差为 ；
2. 标准化使变量均值为 0、标准差为 1；
3. 大样本和与平均值在适当中心化、缩放后近似正态；
4. 中心极限定理适用于许多非正态总体；
5. 连续性校正提高连续正态对离散分布的近似精度；
6. 大数定律描述收敛位置，中心极限定理描述随机误差的分布。