收敛结果
定理： 若
则可以在同一个测度空间上找到相应的随机变量
，使得 证明思路： 取
定理：
当且仅当对每个有界连续函数
，都有 证明思路： 在同一个样本空间上定义
，使其几乎必然收敛，再使用有界收敛定理。 定理： 假设
可测，并且它的不连续点集的 -测度为零。那么 证明思路： 在同一个样本空间上定义
，使其几乎必然收敛，再使用有界收敛定理。
紧性
定理： 任意分布函数序列
都存在一个子列，收敛到某个右连续、单调不减的函数 ，并且在 的每个连续点 处都有 这个极限未必是分布函数。
对相应的实随机变量或分布函数，也可以类似地定义紧性。
定理： 上述
的每个子列极限都是某个概率测度的分布函数，当且仅当 是紧的。
全变差范数
对两个概率测度
和 ，定义它们之间的全变差距离为 直观地说，如果两个测度在全变差意义下很接近，那么在大多数时候，从其中一个测度取得的样本，看起来会像是从另一个测度取得的样本。
当密度函数存在时，全变差距离对应于这些密度函数之间的
距离。 全变差范数收敛比弱收敛强得多。离散均匀随机变量
在 上取值，它弱收敛到
上的均匀随机变量 。但是，对所有 ， 与 之间的全变差距离都是 。
提纲
弱收敛
特征函数
特征函数
令
为随机变量。 的特征函数定义为 回顾：按照定义，
特征函数
与矩母函数 相似。 如果
相互独立，那么 正如
同样，
正如
对任意随机变量
，其特征函数在所有 处都有定义。
特征函数的性质
因而
在 上一致连续。
特征函数的例子
硬币： 如果
那么
这是周期函数。如果
是整数值随机变量，它的特征函数是否总具有周期性？ 泊松（Poisson）分布： 如果
服从参数为 的泊松分布，那么 为什么把
加倍，相当于把 平方？ 正态分布： 如果
服从标准正态分布，那么 当
的分布关于零对称时， 是否总是实函数？ 指数分布： 如果
服从标准指数分布，即它在 上的密度为 ，那么 那么
使用映射
的线性性。
