提纲
- 特征函数
特征函数
设 (X) 是一个随机变量。
(X) 的特征函数定义为
回顾一下，根据定义，
特征函数
与矩母函数 相似。 若
与 相互独立，则 正如
此外，
正如
如果
存在 阶矩，那么 对任意随机变量
，其特征函数在所有 处都有定义。
特征函数的性质
。 因此
在 上一致连续。
特征函数示例
掷硬币： 若
则
这个函数是周期函数。如果
是取整数值的随机变量，它的特征函数是否总是具有周期性？ Poisson 分布： 若
服从参数为 的 Poisson 分布，则 为什么把
加倍，就相当于把 平方？ 正态分布： 若
服从标准正态分布，则 如果
的分布关于零对称，那么 是否总是实值函数？ 指数分布： 若
服从标准指数分布，即其在 上的密度为 ，则 双边指数分布： 若
在 上的密度为 则
这里可利用映射
的线性性。
Fourier 反演公式
若
属于 ，记 Fourier 反演： 如果
足够良好，则 当
是 Gaussian 分布的密度函数时，很容易验证这一点。利用映射 的线性性，可以把结论推广到 Gaussian 密度的线性组合，或者推广到与 Gaussian 密度的卷积。 证明映射
是 Schwartz 空间上的等距映射（该空间赋予 范数），再把定义延拓到其 完备化。 卷积定理： 若
则
可能的应用？
$$
\int \mathbf{1}{[a,b]}(x)f(x),dx
=\widehat{\bigl(\mathbf{1}{[a,b]}f\bigr)}(0)
=\bigl(\widehat f*\widehat{\mathbf{1}{[a,b]}}\bigr)(0)
=\int \widehat f(t)\widehat{\mathbf{1}{[a,b]}}(-t),dx.
$$
特征函数反演公式
如果映射
是线性的，那么对于某个固定区间 ，映射 是否也是线性映射？如何由
恢复 ？ 设
反演定理：
证明的主要思路： 记
注意
其模不超过
。 这意味着我们可以运用 Fubini 定理计算
。
Bochner 定理
给定任意函数
以及任意点 ，可以考虑这样一个矩阵：其第 个元素为 如果这个矩阵总是半正定的 Hermitian 矩阵，就称
为正定函数。 Bochner 定理： 从
到 的连续函数 ，若 ，则它是 上某个概率测度的特征函数，当且仅当它是正定函数。 正定性在某种意义上来自随机变量的方差非负这一事实。
所有可能的特征函数构成一个性质相当良好的集合。
连续性定理
Lévy 连续性定理： 如果对所有
都有 那么
依分布收敛到 。 稍强一些的定理： 如果
那么对所有
都有 反过来，如果
收敛到一个在 处连续的极限函数，那么相应的分布序列 是紧的，并且弱收敛到某个测度 ，该测度的特征函数为 。 证明思路： 第一个陈述很容易证明，因为
意味着：对任意有界连续函数 ， 为得到第二个陈述，先结合 Fubini 定理进行一些推导，并证明
的紧性。然后注意， 的任意子序列极限都必须等于 。由此说明：对任意有界连续函数 ，
矩、导数与中心极限定理
如果
那么测度
的特征函数 具有连续的 阶导数，且 事实上，如果
那么
这一点与连续性定理合在一起，就能推出中心极限定理。
定理： 设
独立同分布，并且 若
则
依分布收敛到标准正态随机变量。
