回顾傅里叶反演公式
若
属于 ，记 傅里叶反演： 若
足够良好，则 当
是高斯分布的密度函数时，很容易验证这个公式。利用映射 的线性性，可以将结论推广到高斯密度的线性组合，或者推广到与高斯密度的卷积。
证明映射
是施瓦茨（Schwartz）空间（赋予 范数）上的等距映射，再把该定义推广到 完备化。 卷积定理： 若
则
观察： 可以定义广义函数的傅里叶变换，也可以把有限测度解释为广义函数。
回顾博赫纳（Bochner）定理
给定任意函数
以及任意点 ，可以考虑这样一个矩阵：其第 个元素为 如果这个矩阵总是半正定厄米（Hermitian）矩阵，就称
是正定的。 博赫纳定理： 从
到 的连续函数 ，若满足 则
是 上某个概率测度的特征函数，当且仅当 是正定的。 正定性在某种意义上源于随机变量的方差非负这一事实。
所有可能的特征函数构成一个性质相当良好的集合。
傅里叶变换提供了一个自然映射：它把
上所有概率测度组成的集合（这些测度可由其分布函数 描述）映射到所有可能的特征函数组成的集合。
回顾连续性定理
强连续性定理： 若
则对所有
， 反过来，若
收敛到某个在 处连续的极限 ，则相应的分布序列 是紧的，并且弱收敛到一个特征函数为 的测度 。
回顾中心极限定理的思路
设
为随机变量。 的特征函数定义为 如果
存在 阶矩，那么 特别地，若
则
记
那么
并且
若
其中
相互独立且同分布，并且都服从 的分布，则 当我们放大观察一个二次可微函数在零点附近的图像时——纵向放大
倍、横向放大 倍——它看起来会越来越像一条抛物线。
提纲
中心极限定理的思路
中心极限定理的变体
林德伯格–费勒（Lindeberg–Feller）定理
中心极限定理相当特殊。还有哪些类型的和近似服从高斯分布？
三角阵列： 假设对
， 是相互独立、期望为零的随机变量。 假设
并且对所有
， 那么当
时， 其中
是标准正态随机变量。 证明思路： 使用特征函数
设法对这些特征函数与其二次近似之间的接近程度作出某种一致控制。
贝里–埃森（Berry–Esseen）定理
若
相互独立且同分布，均值为零、方差为 ，并且 是 的分布函数，而
是标准正态分布函数，那么 只要三阶矩存在，中心极限定理的收敛就非常快。
证明思路： 可以与某个特征函数具有紧支集的对象作卷积，再结合富比尼（Fubini）定理和误差估计进行推导。
假设对某些固定常数
和 ， 注意，若对某个
， 那么
的支集包含在 的某个平移中。若这对所有 都成立，那么 几乎必然等于某个常数。当只有前一种情形成立、后一种情形不成立时（即 是周期函数，但并不恒等于 ），称 为格点随机变量。 对
记
并记
假设
是相互独立同分布的格点随机变量，并且 定理： 当
时， 证明思路： 使用特征函数，把问题化为一个周期积分问题。注意，如果
的支集包含在 中，那么
