回顾
假设对某些固定常数
，几乎必然有 注意，如果对某个
有 那么
的支集包含在 的某个平移中。如果这对所有 都成立，那么 几乎必然等于某个常数。当前一种情形成立、后一种情形不成立时，也就是说 周期但不恒等于 ，称 为格点随机变量。 对
记
以及
假设
是独立同分布的格点随机变量，并且 定理： 当
时，
回顾
证明思路： 使用特征函数，把问题化为周期积分问题。可查阅“傅里叶级数”。注意，若
把这一思路推广到高维
例：考虑
上的随机游走。每一步抛掷一枚公平的四面硬币，以决定向左走 1 个单位、向右走 1 个单位、向左走 2 个单位，还是向右走 2 个单位。 游走在一步、两步、三步之后回到原点的概率分别是多少？
可以在 Mathematica 中写出单步增量
的特征函数 ，并计算 上的随机游走又如何？ 能否利用这种方法判断
上的随机游走何时常返、何时暂留？
泊松随机变量：动机问题
- 在十分钟内，有多少滴雨落在一平方英寸的人行道上？
- 某个大城市一天内有多少人从楼梯上摔下来？
- 一年内发生多少次飞机失事？
- 在预期发射数为 5 的一段时间内，会发射多少个放射性粒子？
- 一分钟内呼叫中心会接到多少通电话？
- 一场 90 分钟的足球比赛会进多少个球？
- 一场 90 分钟的辩论中会出现多少次引人注意的失言？
- 所有这些例子的关键思想：把时间分成大量很小的区间，并假定在每个区间内，某件事以很小的概率发生，而且各区间彼此独立。
设
是一个大小适中的数，例如 或 。 设
很大，例如 。 假设有一枚正面概率为
的硬币，并将它投掷 次。 预期能看到多少次正面？答案是
设
是大小适中的数，例如 。恰好看到 次正面的概率是多少？ 二项式公式给出
它近似为
参数为
的泊松随机变量 满足 $$
P\{X=k\}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},
\qquad k=0,1,2,\ldots.
$$
概率之和为一
参数为
怎样证明
使用 Taylor 展开式
期望
参数为
把泊松随机变量粗略地看成
直接由概率公式也能证明：
令
方差
已知
求
把
因为
令
因此
泊松收敛
思路：如果有大量相互独立的随机事件，每个事件发生的概率都很小，而事件发生总数的期望是
，那么发生总数近似服从参数为 的泊松分布。 定理： 设
是相互独立、取值于 的随机变量，且 假设
则
其中
。 证明思路： 写出 Bernoulli 随机变量和泊松随机变量的对数特征函数，再检查连续性定理的条件。
提纲
- 随机游走与局部中心极限定理的进一步讨论
- 泊松随机变量收敛
- 把中心极限定理的思想推广到稳定随机变量
回顾连续性定理
强连续性定理： 若
则对所有
反过来，如果
回顾中心极限定理的思想
设
为随机变量，其特征函数定义为 按上述特征函数约定，标准关系应为
特别地，如果
那么
记
。于是 且
若
其中
独立同分布且与 同分布，则 当我们在一个二次可微函数的零点附近放大图像——竖直方向放大
倍，水平方向放大 倍——图像会越来越像抛物线。
稳定分布
问题：如果
具有无穷方差，类似中心极限定理的结论是否仍可能成立？例如，对某个 ，令 这些随机变量的分布能否收敛到某个非高斯分布？
随着
增大， 是否可能收敛到别的函数，例如收敛到 的其他幂，而不是 ？ 经过适当规范化的和，应当可能依分布收敛到一个特征函数为
而不是
的随机变量。
我们已经看到，这对柯西随机变量应当成立。柯西分布的特征函数是什么？
查阅稳定分布。
无穷可分分布
如果对每个
，都存在随机变量 ，使 与 个 的独立同分布副本之和具有相同分布，就称随机变量 是无穷可分的。 哪些随机变量是无穷可分的？
泊松分布、柯西分布、正态分布、稳定分布等。
下面考察这些对象的特征函数。
复合泊松随机变量（若干泊松随机变量的线性组合）又如何？它们的特征函数是什么样的？
利用 Lévy—Khintchine 表示，还可以作出更一般的构造。
