提纲
- 把中心极限定理的思想推广到稳定随机变量
回顾连续性定理
强连续性定理： 若
则对所有
， 反过来，如果
收敛到一个在 处连续的极限，那么相应的分布序列 是紧的，并弱收敛到一个特征函数为 的测度 。
回顾中心极限定理的思想
设
为随机变量。 的特征函数定义为 按上述特征函数约定，标准关系应为
特别地，如果
那么
记
则
以及
若
其中
独立同分布且与 同分布，则 当我们在一个二次可微函数的零点附近放大图像——竖直方向放大
倍，水平方向放大 倍——图像会越来越像抛物线。
稳定分布
问题：如果
具有无穷方差，类似中心极限定理的结论是否仍可能成立？例如，对某个 ，令 这些随机变量的分布能否收敛到某个非高斯分布？
随着
增大， 是否可能收敛到别的函数，例如收敛到 的其他幂，而不是 ？ 经过适当规范化的和，应当可能依分布收敛到一个特征函数为
而不是
的随机变量。
我们已经看到，这对柯西随机变量应当成立。
稳定分布
例： 假定当
时， 这是一个具有“幂律尾部”的随机变量。
计算可得，在
接近 时， 若
与 同分布，且 则
当
时，它逐点收敛到 由连续性定理可得
其中随机变量
的特征函数为 查阅稳定分布可知：在仿射变换意义下，这只是一个二参数族，其特征函数为
其中
稳定分布与泊松分布的联系
再考虑刚才的例子：
且
独立同分布。 现在，
因此，计数
收敛到均值为
的泊松分布。
更一般地，
依分布收敛到均值为
的泊松随机变量。
稳定随机变量的吸引域
更一般地，假设
且
其中
是缓变函数，也就是说，对所有 ， 定理： 对适当选取的
， 依分布收敛到某个极限随机变量。
无穷可分分布
如果对每个
，都存在随机变量 ，使 与 个 的独立同分布副本之和具有相同分布，就称随机变量 是无穷可分的。 哪些随机变量是无穷可分的？
泊松分布、柯西分布、正态分布、稳定分布等。
下面考察这些对象的特征函数。
复合泊松随机变量（若干泊松随机变量的线性组合）又如何？它们的特征函数是什么样的？
利用 Lévy—Khintchine 表示，还可以作出更一般的构造。
高维极限定理
关于中心极限定理的大部分理论都可以推广到高维随机变量。
例如，给定随机向量
，可以定义 这正是密度函数的高维傅里叶变换。
适用于这里的反演定理与连续性定理，本质上都与一维情形相同。
