第 2 讲：数值方法1. 三种研究方法微分方程的研究包括： 解析、精确和符号方法； 定性方法，如方向场与等斜线； 数值方法。 即使方程能符号求解，仍需计算具体数值。例如， 是初值问题 的解在 处的值。要得到 最终仍需要数值计算。

Week 14：散度与旋度的物理应用 内容为 2007 年 12 月 6 日第 33 讲。 速度场中的旋度与散度速度场的旋度等于局部旋转分量的两倍角速度向量。 例如，绕 轴以角速度 匀速转动： 则： 旋度从复杂运动中提取局部旋转分

Week 13：空间旋度、Stokes 定理与路径无关性 本周包含 2007 年 11 月 27、29、30 日的第 30–32 讲。 第 30 讲：空间线积分、梯度场与旋度扩散方程回顾浓度 与流量场 满足两个关系： 结合得到：

Week 12：散度定理、del 算子与扩散方程 内容为 2007 年 11 月 20 日第 29 讲。 散度定理回顾若闭曲面 取外法向，向量场 在整个 内连续可微，则： del 算子del 算子是一个符号向量： 它本身不是普通

Week 11：球坐标、空间向量场与曲面积分 本周包含 2007 年 11 月 13、15、16 日的第 26–28 讲。 第 26 讲：球坐标球坐标记为： 其中： ：点到原点的距离； ：从正 轴向下量的极角； ：与柱坐标相同，是

Week 10：单连通区域与三重积分导论 对应独立内容源文件：平面上的二重积分和线积分_lec_week10.pdf。三维空间中的三重积分和曲面积分_lec_week10.pdf 与其字节及 SHA-256 哈希完全相同，是重复副本。本讲义

Week 9：旋度、Green 定理、通量与散度 本周包含 2007 年 10 月 30 日、11 月 1–2 日的第 21–23 讲。 第 21 讲：梯度场判别与旋度梯度场的必要条件设二维向量场： 如果 是梯度场： 则： 在混合