第 24 讲：单位阶跃与冲激响应1. 广义导数回顾单位阶跃与冲激用于描述相对于观察尺度极短的事件： 广义函数写成 其中 分段光滑， 是移位冲激的线性组合。 若正则函数 在 有跳跃，则其广义导数包含 例如， 有 反过来，广义函

第 23 讲：阶跃与冲激本讲引入两个建模工具： Heaviside 阶跃函数； Dirac 冲激函数。 1. 单位阶跃函数单位阶跃函数定义为 可暂不定义。它把实际中很快但并非瞬时的开关过程理想化为瞬间切换。 平移后， 在 开启。

第 22 讲：傅里叶级数 III1. 傅里叶级数的微分与积分考虑 -周期函数，在 上 它是偶函数，平均值为 除不可导点外， 又因方波平均值为零，其积分仍是周期函数。使用 奇 逐项从 到 积分： 奇奇奇 常数项必须等于平均值 ，所

第 21 讲：傅里叶级数 II1. 回顾周期为 的合理函数可展开为 傅里叶系数为 2. 标准方波定义 -周期方波 方波是奇函数，因此 若 是奇函数，则 是偶函数，所以 对方波， 因此 为偶数为奇数 于是 原讲义文字提

第 20 讲：周期信号与傅里叶级数1. 周期函数心跳、乐器声音和电子信号都可在一定时间范围内近似看成周期信号。 若存在 ，使 对所有 成立，则 是周期函数， 是一个周期。 常数函数的任意正数都是周期；非常数周期函数通常有最小正周期。任

第 18 讲：工程中的振动应用客座讲者：Kim Vandiver 教授 1. 阻尼比弹簧—质量—阻尼系统满足 无外力时， 其特征多项式可配方为 欠阻尼时，根为 定义无阻尼自然圆频率 及阻尼比 于是 方程可写成 欠阻尼解为

第 17 讲：线性与时不变性1. 串联 RLC 电路在串联 RC 电路中，电流 处处相同。设电源电压升高为 ，电阻和电容上的电压降为 。基尔霍夫电压定律为 元件关系： 求导后得到 加入电感 后， 基尔霍夫定律变为 求导： 输

第 16 讲：频率响应1. 参数变易考虑 右侧不是常数倍的单一指数，因此令 求导： 代入并约去 ： 这正是上一讲求过的方程，其多项式特解为 所以 这种把指数前的常数参数改为未知函数的方法称为参数变易。它把 型输入转化为不含指

第 15 讲：算子、多项式信号与共振1. 微分算子算子把函数映射为函数。微分算子 定义为 例如， 迭代得到 恒等算子 满足 。算子的线性组合例如 若 则定义 常系数线性方程可简写为 是线性时不变微分算子，代表系统；输入

第 14 讲：复增益1. 稳定系统与稳态响应考虑常系数线性方程 及其齐次方程。特征多项式为 特征根决定齐次解中的指数模态；重根还会产生乘以 的幂的解。 因为 若所有特征根的实部均为负，则所有齐次解都趋于零。这称为暂态定理。 此时非齐