第 13 讲：受迫线性方程考虑受外力作用的弹簧—质量—阻尼系统： 相应齐次方程是 自然圆频率为 欠阻尼时，阻尼圆频率满足 1. 叠加原理 II若 是非齐次方程的一个特解， 是相应齐次方程的解，则 仍是非齐次方程的解。 若 表示

第 12 讲：阻尼振动研究无外力弹簧—质量—阻尼系统 其特征多项式为 特征根对应系统的模态。 1. 三种阻尼情形在 下： 类型 参数条件 特征根 基本实解 过阻尼 两个不同实根 临界阻尼 重根 欠阻尼

第 11 讲：二阶线性方程1. 弹簧—质量系统二阶方程是机械系统和电气系统分析的基础。 设质量为 的小车与墙之间连接一根弹簧，并令 表示弹簧自然长度的位置。牛顿第二定律为 弹簧力总是把物体拉回平衡位置： 在小位移范围内，用切线近

第 9 讲：线性与非线性本讲以一场“辩论”比较线性方程与非线性方程： 对比 1. 线性方程的优势对约化标准形式 积分因子为 于是 通解具有形式 相应齐次方程 的非零解为 许多应用中 ，因而初始条件产生的项是暂态。 2. 非线性

第 8 讲：自治方程1. 定义与逻辑斯蒂方程一般一阶方程为 若右侧不显含时间， 则称为自治方程。这表示环境规律不随时间改变，但变化率仍可依赖系统当前状态。 自然增长模型 就是自治方程。银行余额模型 在利率仅依赖余额、净存款率为常数时

第 7 讲：指数与正弦输入—输出欧拉公式给出 1. 正弦型函数正弦型函数的图像是正弦波或余弦波。它由三个参数完全确定： 振幅 ：最大值的高度； 周期 ：重复一次所需的时间； 时间滞后 ：第一次达到最大值的时刻。 相角与时间的关系为

第 6 讲：复指数1. 复数的根由复数乘法规律， 三次单位根若 则 ，而辐角可取 三个根为 一般而言， 次单位根把单位圆均分为 份。 的三次根若 ，则 辐角可取 因此三个根是 它们均匀分布在半径为 的圆上。 2. 代数基

第 5 讲：复数与单位根1. 复数代数复数能够表示同时具有振幅与相位的量。实数构成一条直线，复数则铺满一个平面。虚数单位 满足 每个复数均可写成 其实部与虚部分别为 注意，虚部 本身是实数。复数之间没有与实数相容的大小次序。 普通

第 4 讲：一阶线性方程与积分因子1. 齐次一阶线性方程一阶线性方程的标准形式是 其中 与 是系数。除以 后得到约化标准形式 若输入为零，即 ，方程称为齐次： 它表示系统在没有外界输入时自行演化。银行模型中，这意味着没有存取款；

第 3 讲：一阶线性方程与系统—信号观点1. 一阶线性微分方程线性方程是微分方程中最重要的类别之一。以时间 为自变量、 为未知量时，一阶线性方程可写成标准形式 若 都是常数，则方程可分离： 例如，允许固定捕猎量的羚羊种群模型为 其