Markov 链：一般定义 考虑可测空间 。 如果函数 满足下列条件，就称它为一个转移概率： 对每个 ，映射 是 上的一个概率测度； 对每个 ，映射 是可测函数。 如果对所有 ，都有 就称 是关于 、转移概率为 的 Mar

Markov 链 考虑随机变量序列 每个随机变量都在同一个状态空间中取值。目前先假设该状态空间是有限集，并将它标记为 把 解释为系统在时刻 的状态。 如果存在一组固定的数 ，其中每一对 都对应一个 ，并且每当系统处于状态 时

马尔可夫链 考虑随机变量序列 其中每个随机变量都在同一个状态空间中取值。目前先假设该状态空间是一个有限集，并把它标记为 把 解释为系统在时刻 的状态。 如果存在一组固定的数 ，其中每一对 都对应一个 ，并且每当系统处于状态

鞅 设 是一列递增的 -域（称为一个滤过）。 若对所有 都有 关于 可测，则称序列 适应于 。若 是适应序列，且 ，并满足 对所有 都成立，则称它为鞅。若把等号换成 （相应地换成 ），则称为上鞅（相应地称为下鞅）。 定理

回顾：条件期望 假设给定概率空间 以及一个 -域 。又设随机变量 关于 可测，并且 在给定 的条件下， 的条件期望是一个新的随机变量，可记为 我们要求 关于 可测，并且对每一个 ，都有 任何满足这些性质的 ，都称为

回顾：条件期望 假设给定概率空间 、-域 ，以及一个关于 可测、满足 的随机变量 。给定 时 的条件期望是一个新的随机变量，可以记作 我们要求 关于 可测，并且对所有 ，都有 满足这些性质的任何 ，都称为 的一个版本。

回顾：条件期望 假设给定概率空间 以及一个 -域 。设随机变量 关于 可测，并且 在给定 的条件下， 的条件期望是一个新的随机变量，可记为 我们要求 关于 可测，并且对每个 ，都有 满足这些性质的任意 ，都称为 的一

条件期望 假设给定概率空间 以及一个 -域 。又设随机变量 关于 可测，并且 在给定 的条件下， 的条件期望是一个新的随机变量，可记为 我们要求 关于 可测，并且对每一个 ，都有 任何满足这些性质的 ，都称为 的一个

可交换事件 从测度空间 出发。令 令 为乘积 -代数， 为乘积概率测度。 的一个有限置换，是从 到自身的一一映射，并且除了有限多个点之外固定其余所有点。 如果事件 在 的任何有限置换下都保持不变，就称 是可置换的。 令

无穷可分分布 如果对每个 ，都存在一个随机变量 ，使随机变量 与 个 的独立同分布副本之和具有相同的分布，就称 是无穷可分的。 哪些随机变量是无穷可分的？ 泊松分布、柯西分布、正态分布、稳定分布等。 下面考察这些对象的特征函数