有根树树是一个没有环的连通图。 有根树有一个特别指定的顶点 ，称为根。 顶点 的深度是它到根的图距离。 叶子是度数为 的顶点。 考虑一棵正则有根树：每个顶点都有固定数目的后代，设这个数目为 。 令 第代的顶点数 有根二叉树的层级关系可示

今天增设答疑时间：下午 1 点至 3 点。 回顾设 是一个鞅。 若 在 中有界，则 几乎必然成立 若对某个 ， 在 中有界，则 几乎必然且在中成立 今天的目标 在 中是否也收敛？ 一致可积； 一致可积鞅的可选停止定理；

回顾鞅： 对 ， 可选停止定理： 是否成立？ 今天的目标 鞅的几乎必然收敛； Doob 最大值不等式； 时的 收敛。 各种收敛空间 空间由满足 的随机变量组成。 范数为 三角不等式为 当 时， 空间由满足 的随机变量组成

回顾 是概率空间； 是一个滤过； 适应于 ，并且可积。 如果对所有 ， 几乎必然 则称 是鞅。 如果对所有 ， 几乎必然 则称 是上鞅。 如果对所有 ， 几乎必然 则称 是下鞅。 今天的目标 停时； 可选停止定理： 是否成立

参加考试的学生总数为 人： 人的成绩在 ； 人的成绩在 ； 人的成绩在 ； 人的成绩在 ； 人的成绩在 。 今天的目标 概率空间； 条件期望； 鞅导论。 概率空间定义 设 是一个集合。若 的子集族 满足： ； 若

定理 1. 设 是一个概率空间，配备滤过 设 是一个在 中有界的上鞅，即 则当 时， 几乎必然 其中 设 是一列实数，并设 是两个实数。定义 对 ，递归定义 并采用通常的约定 定义序列 在时刻 之前对区间 的

回顾假设转移矩阵 不可约。 马尔可夫链是常返的，当且仅当对某个状态 ， 马尔可夫链是正常返的，当且仅当对某个状态 ， 今天的目标 平稳分布； 向平稳分布的收敛。 平稳分布定理. 一条不可约马尔可夫链是正常返的，当且仅当状态空间 上

回顾设 是有限状态空间， 是转移矩阵。随机过程 称为马尔可夫链，如果 今天现在令 为可数状态空间， 为转移矩阵。随机过程 仍称为马尔可夫链，如果 相关概念 平稳分布： 不可约性： 对任意 ，存在某个 ，使得 首次到达

有效电阻考虑网络 设 是一个电势，源点为 ，汇点为 。令 为相应的电流： 定义 与 之间的有效电阻为 有效电阻与逃逸概率 有效电阻与格林函数 三种运算仍以 定义 与 之间的有效电阻。 下列三种运算不改变有效电阻： 并联

回顾考虑网络 有效电阻定义为 考虑该网络上的随机游走。格林函数定义为 之前访问的次数 我们有 今天的目标 首次到达时间； 往返时间； 传递网络。 目标时间假设 是一条不可约马尔可夫链，其转移矩阵为 ，平稳测度为 。令 表示首次到