回顾 是可数状态空间上的连续时间 Markov 链，并满足下列要求： 齐次性 链的右连续性对任意 ，存在 ，使得对所有 ，都有 不爆炸性爆炸时刻满足 半群的右连续性当 时， 即每个矩阵元素都逐点收敛。 考虑转移

回顾我们考虑可数状态空间上的连续时间马尔可夫链，并提出以下要求。 齐次性： 链的右连续性： 对任意 ，存在 ，使得对所有 都有 今天的目标 进一步讨论连续时间马尔可夫链的正则性； 无穷小生成元。 跳跃过程考虑连续时间马尔可夫链 。

回顾若 上的点过程 满足以下条件，则称它是强度为 的泊松过程： 对任意 和任意 随机变量 相互独立。 对任意区间 随机变量 服从均值为 的泊松分布。 今天的目标 泊松过程的刻画； 连续时间马

随机点过程随机点过程是实数直线上的一个可列随机点集，它对应于某一事件依次发生的时刻序列。例如，顾客的到达时刻就构成一个随机点过程。 定义 上的随机点过程是随机变量序列 满足 以及 定义 相邻事件间隔序列定义为 计数过程定义如下：对

有根树树是一个没有环的连通图。 有根树有一个特别指定的顶点 ，称为根。 顶点 的深度是它到根的图距离。 叶子是度数为 的顶点。 考虑一棵正则有根树：每个顶点都有固定数目的后代，设这个数目为 。 令 第代的顶点数 有根二叉树的层级关系可示

今天增设答疑时间：下午 1 点至 3 点。 回顾设 是一个鞅。 若 在 中有界，则 几乎必然成立 若对某个 ， 在 中有界，则 几乎必然且在中成立 今天的目标 在 中是否也收敛？ 一致可积； 一致可积鞅的可选停止定理；

回顾鞅： 对 ， 可选停止定理： 是否成立？ 今天的目标 鞅的几乎必然收敛； Doob 最大值不等式； 时的 收敛。 各种收敛空间 空间由满足 的随机变量组成。 范数为 三角不等式为 当 时， 空间由满足 的随机变量组成

回顾 是概率空间； 是一个滤过； 适应于 ，并且可积。 如果对所有 ， 几乎必然 则称 是鞅。 如果对所有 ， 几乎必然 则称 是上鞅。 如果对所有 ， 几乎必然 则称 是下鞅。 今天的目标 停时； 可选停止定理： 是否成立

参加考试的学生总数为 人： 人的成绩在 ； 人的成绩在 ； 人的成绩在 ； 人的成绩在 ； 人的成绩在 。 今天的目标 概率空间； 条件期望； 鞅导论。 概率空间定义 设 是一个集合。若 的子集族 满足： ； 若

定理 1. 设 是一个概率空间，配备滤过 设 是一个在 中有界的上鞅，即 则当 时， 几乎必然 其中 设 是一列实数，并设 是两个实数。定义 对 ，递归定义 并采用通常的约定 定义序列 在时刻 之前对区间 的