第三部分：向量空间与子空间、基与维数 本文件对应原 PDF 第 23-31 页。 本部分内容 3.1 向量空间与四个基本子空间 3.2 向量空间 的基与维数 3.3 列空间与行空间：通过消元求基 3.4 与 ：零空间解与特解 3.5

第二部分：求解线性方程 本文件对应原 PDF 第 16-22 页。这里 是 方阵。 本部分内容 2.1 逆矩阵 与解 2.2 三角矩阵及 的回代法 2.3 消元：将方阵 化为上三角矩阵 2.4 为获得非零主元而交换行：置换

目录 前言 教材、ZoomNotes 与视频课程 三大矩阵分解：LU、QR 与 SVD 第一部分：线性代数的基本思想 1.1 向量的线性组合 1.2 点积、长度与夹角 1.3 矩阵乘向量 1.4 矩阵的列空间与行空间 1.5 线性相关列与线

Week 14：散度与旋度的物理应用 内容为 2007 年 12 月 6 日第 33 讲。 速度场中的旋度与散度速度场的旋度等于局部旋转分量的两倍角速度向量。 例如，绕 轴以角速度 匀速转动： 则： 旋度从复杂运动中提取局部旋转分

Week 13：空间旋度、Stokes 定理与路径无关性 本周包含 2007 年 11 月 27、29、30 日的第 30–32 讲。 第 30 讲：空间线积分、梯度场与旋度扩散方程回顾浓度 与流量场 满足两个关系： 结合得到：

Week 12：散度定理、del 算子与扩散方程 内容为 2007 年 11 月 20 日第 29 讲。 散度定理回顾若闭曲面 取外法向，向量场 在整个 内连续可微，则： del 算子del 算子是一个符号向量： 它本身不是普通

Week 11：球坐标、空间向量场与曲面积分 本周包含 2007 年 11 月 13、15、16 日的第 26–28 讲。 第 26 讲：球坐标球坐标记为： 其中： ：点到原点的距离； ：从正 轴向下量的极角； ：与柱坐标相同，是

Week 10：单连通区域与三重积分导论 对应独立内容源文件：平面上的二重积分和线积分_lec_week10.pdf。三维空间中的三重积分和曲面积分_lec_week10.pdf 与其字节及 SHA-256 哈希完全相同，是重复副本。本讲义

Week 9：旋度、Green 定理、通量与散度 本周包含 2007 年 10 月 30 日、11 月 1–2 日的第 21–23 讲。 第 21 讲：梯度场判别与旋度梯度场的必要条件设二维向量场： 如果 是梯度场： 则： 在混合

Week 8：变量替换、向量场与线积分 本周包含 2007 年 10 月 23、25、26 日的第 18–20 讲。 第 18 讲：二重积分中的变量替换椭圆面积求半轴为 的椭圆： 的面积。 令： 则： 且： 椭圆被变为单位圆盘：