Week 7：二重积分、极坐标与质量性质 本周包含 2007 年 10 月 18、19 日的第 16–17 讲。 第 16 讲：二重积分从一重积分到二重积分在一元微积分中： 可解释为曲线 在区间 上方或下方的带符号面积。 对二元函数

Week 6：非独立变量与约束偏导数 本周包含 2007 年 10 月 11 日第 14 讲和 10 月 12 日第 15 讲复习。 第 14 讲：非独立变量很多实际变量并不独立。例如理想气体状态量满足： 若三个变量由约束 联系起来，

Week 5：全微分、梯度、方向导数与 Lagrange 乘子 本周包含 2007 年 10 月 2、4、5 日的第 11–13 讲。 第 11 讲：全微分与链式法则一元函数的微分对一元函数 微分关系为： 例如： 对两边微分： 所

Week 4：多变量函数、偏导数与二阶导数判别 本周包含 2007 年 9 月 25、27、28 日的第 8–10 讲。 第 8 讲：多变量函数与偏导数二元函数的图像对一元函数 ，可以在平面中绘制图像，其导数是图像切线的斜率。 对二元函数

Week 3：速度、加速度与 Kepler 第二定律 本周包含 2007 年 9 月 18 日第 6 讲，以及 9 月 20 日第 7 讲的复习提纲。 第 6 讲：速度与加速度位置向量平面运动的位置向量写为： 空间运动还包括 分量：

Week 2：矩阵、平面、直线与参数曲线 本周包含 2007 年 9 月 11、13、14 日的第 3–5 讲。 第 3 讲：平面的方程与矩阵叉积的两个性质 第一式表示交换叉积次序会反向；第二式表示一个向量与自身张成的平行四边形面积为零

Week 1：向量、点积、行列式与叉积第 1 讲：多变量微积分与向量多变量微积分的目标，是提供处理含多个参数问题的工具，也就是研究多变量函数。 向量向量既有方向，也有长度。向量 可用有向线段表示，其长度记为 在空间直角坐标系中，向量可用

第 39 讲：线性化的局限、极限环与混沌1. 稳定性的术语平衡点若附近轨迹始终保持在其附近，称为 Lyapunov 稳定；若这些轨迹还在 时趋于该平衡点，则称为渐近稳定。 二维线性系统中，渐近稳定区域为 即所有特征值实部为负。 2. 线

第 38 讲：线性化——非线性摆与工程振荡1. 非线性摆设： ：摆长； ：摆锤质量； ：重力加速度； ：相对竖直向下方向的偏角。 沿圆弧的弧长为 切向重力为 线性摩擦力为 牛顿第二定律： 除以 ： 其中 这是非线性二阶方程。

第 37 讲：向量场与非线性系统1. 非线性自治系统一维自治方程为 例如鹿群逻辑斯蒂模型 取 ，得到 平衡点为 若加入狼群 ，可建模为 鹿会因自身拥挤和狼群捕食而受限；狼在没有鹿时有自己的逻辑斯蒂增长，鹿的存在提高其增长率。 2