第 36 讲：矩阵指数与初值问题1. 定义标量方程 的解为 类似地，矩阵系统 的解定义为 是矩阵值函数。 矩阵的第一列等于初值 对应的解；第二列等于初值 对应的解。因此 2. 基本矩阵若矩阵 的各列是系统的线性独立解，则称

第 35 讲：线性相图——特征值通常决定一切1. 相平面与节点系统 的解轨迹画在 平面中，就得到相图。 兔子模型 有特征值 特征向量可取 两个模态为 两特征值都为正，所以所有非零解随 离开原点，原点是源点。两个实特征值同号且不

第 34 讲：复特征值与重特征值1. 二维系统求解步骤对 通常： 求特征多项式 求特征值 ； 对每个特征值求非零特征向量 构造正规模态 用独立模态的线性组合构成通解。 同一特征值的所有特征向量及零向量构成特征子空间；

第 33 讲：特征值与特征向量1. 线性代数预备对 矩阵乘法可写成列向量的线性组合： 齐次方程 总有零解。它存在非零解，当且仅当两列线性相关，也就是 这一结论对任意阶方阵仍成立。 2. 射线解考虑 例如 寻找沿固定方向 的解：

第 32 讲：一阶线性系统导论1. 两个种群的耦合模型设两个农场中的兔子数量分别为 与 。兔子既在各自农场繁殖，也会跨过篱笆迁移。课堂采用的净流量模型为 这里对角项表示留在本场的净增长，非对角项表示从另一农场流入。 讲义开头对原始繁

第 30 讲：极点与幅频响应1. 极点图回顾拉普拉斯变换的极点中，最靠右的极点决定时间函数的主导长期行为。 例如，极点为 的函数通常包含圆频率 的振荡，而没有非零指数增长率。若还存在右半平面极点 ，则 型增长最终压倒虚轴极点产生的有界

第 29 讲：拉普拉斯变换 IV——极点图1. 传递函数与任意输入若单位冲激响应满足 则 对静止初始条件下的任意输入 取拉普拉斯变换： 所以 时间域卷积 在 域变成普通乘法。 共振例子 静止初始条件下 因此 由 得到

第 28 讲：拉普拉斯变换 III1. 广义导数与微积分基本定理令 其普通导数部分为 由于 在 从 跳到 ，奇异部分为 因此广义导数是 也可用乘积法则： 再利用 对不连续函数，只有使用广义导数，微积分基本定理 才成立。例

第 27 讲：拉普拉斯变换 II1. 已知变换与规则 已知： 并有线性与 -平移： 例如， 2. 冲激信号冲激的抽样性质为 因此对 ， 其收敛域是整个复平面。 特别地， 为了完整包含 处的冲激，拉普拉斯积分下限应理解

第 26 讲：拉普拉斯变换——定义与基本性质继续考虑在 时为零的因果函数。 1. 定义函数 的拉普拉斯变换定义为 其中 可为复数，并要求积分在相应区域收敛。 拉普拉斯变换： 显示信号的长期增长或衰减； 把冲激响应与系统特征多项式联