本附录介绍特征函数。特征函数本质上是概率测度的 Fourier 变换，因此可以用Fourier 分析的方法研究概率测度、随机变量和分布函数，并建立它们之间的一一对应关系。 F.1　一般性质回忆：若 是分布函数为 的随机变量，则 而且

回顾考虑黎曼积分 再考虑第 1 章中引入的期望： 其中， 是 的概率密度函数， 是 的累积分布函数。式（E.1）中的第二个积分是勒贝格积分，第四个积分是黎曼积分。那么，式（E.1）中的第三个积分是什么？ E.1　定义基本假设： 函数

附录 B 已经介绍了若干函数列与随机过程的收敛概念。本附录继续讨论这些概念之间的关系。 D.1　几乎处处收敛定义 D.1　若存在零测集 ，即 使得对所有 ，都有 （有限值），当 则称 几乎处处收敛到随机变量 。 注 D.2　逐点收敛推出

设 是概率空间， 是其上的随机变量。 定理 C.1　每个定义在 上的随机变量 都通过下式在 上诱导一个概率测度 ： 因此，随机变量 把原概率空间 推送为新的概率空间 这里 称为 的分布或像测度。 记号 C.2 即集合 在

在微积分中，我们学过数列的收敛；在高等微积分中，还会进一步讨论函数列的收敛，情形也更加复杂。由于函数收敛的情况非常丰富，这里分成两部分讨论：一部分是在高等微积分中常用的收敛性，另一部分是在高等概率论中常用的收敛性，也就是随机过程的收敛。本附

一般数列极限的定义在微积分中都已经学过，所以这里不再赘述。我们感兴趣的情形是：当极限不存在时，还有哪些性质可以用来描述数列。 设 是一个实数序列。 定义 A.1. 假设存在实数 ，满足下列两个条件： 对所有 ，存在 ，使得对所有 ，

回顾假设 是一条连续时间马尔可夫链。 跳跃时刻 定义为 跳跃链 定义为 不可约性： 不可约，当且仅当 不可约。 常返性： 假设 是不可约马尔可夫链，则 常返，当且仅当 常返。 今天的目标 正常返性； 平稳分布； 平稳