Week 10：单连通区域与三重积分导论 对应独立内容源文件：平面上的二重积分和线积分_lec_week10.pdf。三维空间中的三重积分和曲面积分_lec_week10.pdf 与其字节及 SHA-256 哈希完全相同，是重复副本。本讲义

Week 9：旋度、Green 定理、通量与散度 本周包含 2007 年 10 月 30 日、11 月 1–2 日的第 21–23 讲。 第 21 讲：梯度场判别与旋度梯度场的必要条件设二维向量场： 如果 是梯度场： 则： 在混合

Week 8：变量替换、向量场与线积分 本周包含 2007 年 10 月 23、25、26 日的第 18–20 讲。 第 18 讲：二重积分中的变量替换椭圆面积求半轴为 的椭圆： 的面积。 令： 则： 且： 椭圆被变为单位圆盘：

Week 7：二重积分、极坐标与质量性质 本周包含 2007 年 10 月 18、19 日的第 16–17 讲。 第 16 讲：二重积分从一重积分到二重积分在一元微积分中： 可解释为曲线 在区间 上方或下方的带符号面积。 对二元函数

Week 6：非独立变量与约束偏导数 本周包含 2007 年 10 月 11 日第 14 讲和 10 月 12 日第 15 讲复习。 第 14 讲：非独立变量很多实际变量并不独立。例如理想气体状态量满足： 若三个变量由约束 联系起来，

Week 5：全微分、梯度、方向导数与 Lagrange 乘子 本周包含 2007 年 10 月 2、4、5 日的第 11–13 讲。 第 11 讲：全微分与链式法则一元函数的微分对一元函数 微分关系为： 例如： 对两边微分： 所

Week 4：多变量函数、偏导数与二阶导数判别 本周包含 2007 年 9 月 25、27、28 日的第 8–10 讲。 第 8 讲：多变量函数与偏导数二元函数的图像对一元函数 ，可以在平面中绘制图像，其导数是图像切线的斜率。 对二元函数

Week 3：速度、加速度与 Kepler 第二定律 本周包含 2007 年 9 月 18 日第 6 讲，以及 9 月 20 日第 7 讲的复习提纲。 第 6 讲：速度与加速度位置向量平面运动的位置向量写为： 空间运动还包括 分量：

Week 2：矩阵、平面、直线与参数曲线 本周包含 2007 年 9 月 11、13、14 日的第 3–5 讲。 第 3 讲：平面的方程与矩阵叉积的两个性质 第一式表示交换叉积次序会反向；第二式表示一个向量与自身张成的平行四边形面积为零

Week 1：向量、点积、行列式与叉积第 1 讲：多变量微积分与向量多变量微积分的目标，是提供处理含多个参数问题的工具，也就是研究多变量函数。 向量向量既有方向，也有长度。向量 可用有向线段表示，其长度记为 在空间直角坐标系中，向量可用