第 39 讲：线性化的局限、极限环与混沌1. 稳定性的术语平衡点若附近轨迹始终保持在其附近，称为 Lyapunov 稳定；若这些轨迹还在 时趋于该平衡点，则称为渐近稳定。 二维线性系统中，渐近稳定区域为 即所有特征值实部为负。 2. 线

第 38 讲：线性化——非线性摆与工程振荡1. 非线性摆设： ：摆长； ：摆锤质量； ：重力加速度； ：相对竖直向下方向的偏角。 沿圆弧的弧长为 切向重力为 线性摩擦力为 牛顿第二定律： 除以 ： 其中 这是非线性二阶方程。

第 37 讲：向量场与非线性系统1. 非线性自治系统一维自治方程为 例如鹿群逻辑斯蒂模型 取 ，得到 平衡点为 若加入狼群 ，可建模为 鹿会因自身拥挤和狼群捕食而受限；狼在没有鹿时有自己的逻辑斯蒂增长，鹿的存在提高其增长率。 2

第 36 讲：矩阵指数与初值问题1. 定义标量方程 的解为 类似地，矩阵系统 的解定义为 是矩阵值函数。 矩阵的第一列等于初值 对应的解；第二列等于初值 对应的解。因此 2. 基本矩阵若矩阵 的各列是系统的线性独立解，则称

第 35 讲：线性相图——特征值通常决定一切1. 相平面与节点系统 的解轨迹画在 平面中，就得到相图。 兔子模型 有特征值 特征向量可取 两个模态为 两特征值都为正，所以所有非零解随 离开原点，原点是源点。两个实特征值同号且不

第 34 讲：复特征值与重特征值1. 二维系统求解步骤对 通常： 求特征多项式 求特征值 ； 对每个特征值求非零特征向量 构造正规模态 用独立模态的线性组合构成通解。 同一特征值的所有特征向量及零向量构成特征子空间；

第 33 讲：特征值与特征向量1. 线性代数预备对 矩阵乘法可写成列向量的线性组合： 齐次方程 总有零解。它存在非零解，当且仅当两列线性相关，也就是 这一结论对任意阶方阵仍成立。 2. 射线解考虑 例如 寻找沿固定方向 的解：

第 32 讲：一阶线性系统导论1. 两个种群的耦合模型设两个农场中的兔子数量分别为 与 。兔子既在各自农场繁殖，也会跨过篱笆迁移。课堂采用的净流量模型为 这里对角项表示留在本场的净增长，非对角项表示从另一农场流入。 讲义开头对原始繁

第 30 讲：极点与幅频响应1. 极点图回顾拉普拉斯变换的极点中，最靠右的极点决定时间函数的主导长期行为。 例如，极点为 的函数通常包含圆频率 的振荡，而没有非零指数增长率。若还存在右半平面极点 ，则 型增长最终压倒虚轴极点产生的有界

第 29 讲：拉普拉斯变换 IV——极点图1. 传递函数与任意输入若单位冲激响应满足 则 对静止初始条件下的任意输入 取拉普拉斯变换： 所以 时间域卷积 在 域变成普通乘法。 共振例子 静止初始条件下 因此 由 得到