第 6 讲：复指数1. 复数的根由复数乘法规律， 三次单位根若 则 ，而辐角可取 三个根为 一般而言， 次单位根把单位圆均分为 份。 的三次根若 ，则 辐角可取 因此三个根是 它们均匀分布在半径为 的圆上。 2. 代数基

第 5 讲：复数与单位根1. 复数代数复数能够表示同时具有振幅与相位的量。实数构成一条直线，复数则铺满一个平面。虚数单位 满足 每个复数均可写成 其实部与虚部分别为 注意，虚部 本身是实数。复数之间没有与实数相容的大小次序。 普通

第 4 讲：一阶线性方程与积分因子1. 齐次一阶线性方程一阶线性方程的标准形式是 其中 与 是系数。除以 后得到约化标准形式 若输入为零，即 ，方程称为齐次： 它表示系统在没有外界输入时自行演化。银行模型中，这意味着没有存取款；

第 3 讲：一阶线性方程与系统—信号观点1. 一阶线性微分方程线性方程是微分方程中最重要的类别之一。以时间 为自变量、 为未知量时，一阶线性方程可写成标准形式 若 都是常数，则方程可分离： 例如，允许固定捕猎量的羚羊种群模型为 其

第 2 讲：数值方法1. 三种研究方法微分方程的研究包括： 解析、精确和符号方法； 定性方法，如方向场与等斜线； 数值方法。 即使方程能符号求解，仍需计算具体数值。例如， 是初值问题 的解在 处的值。要得到 最终仍需要数值计算。

Week 14：散度与旋度的物理应用 内容为 2007 年 12 月 6 日第 33 讲。 速度场中的旋度与散度速度场的旋度等于局部旋转分量的两倍角速度向量。 例如，绕 轴以角速度 匀速转动： 则： 旋度从复杂运动中提取局部旋转分

Week 13：空间旋度、Stokes 定理与路径无关性 本周包含 2007 年 11 月 27、29、30 日的第 30–32 讲。 第 30 讲：空间线积分、梯度场与旋度扩散方程回顾浓度 与流量场 满足两个关系： 结合得到：

Week 12：散度定理、del 算子与扩散方程 内容为 2007 年 11 月 20 日第 29 讲。 散度定理回顾若闭曲面 取外法向，向量场 在整个 内连续可微，则： del 算子del 算子是一个符号向量： 它本身不是普通

Week 11：球坐标、空间向量场与曲面积分 本周包含 2007 年 11 月 13、15、16 日的第 26–28 讲。 第 26 讲：球坐标球坐标记为： 其中： ：点到原点的距离； ：从正 轴向下量的极角； ：与柱坐标相同，是