第 17 讲：线性与时不变性1. 串联 RLC 电路在串联 RC 电路中，电流 处处相同。设电源电压升高为 ，电阻和电容上的电压降为 。基尔霍夫电压定律为 元件关系： 求导后得到 加入电感 后， 基尔霍夫定律变为 求导： 输

第 16 讲：频率响应1. 参数变易考虑 右侧不是常数倍的单一指数，因此令 求导： 代入并约去 ： 这正是上一讲求过的方程，其多项式特解为 所以 这种把指数前的常数参数改为未知函数的方法称为参数变易。它把 型输入转化为不含指

第 15 讲：算子、多项式信号与共振1. 微分算子算子把函数映射为函数。微分算子 定义为 例如， 迭代得到 恒等算子 满足 。算子的线性组合例如 若 则定义 常系数线性方程可简写为 是线性时不变微分算子，代表系统；输入

第 14 讲：复增益1. 稳定系统与稳态响应考虑常系数线性方程 及其齐次方程。特征多项式为 特征根决定齐次解中的指数模态；重根还会产生乘以 的幂的解。 因为 若所有特征根的实部均为负，则所有齐次解都趋于零。这称为暂态定理。 此时非齐

第 13 讲：受迫线性方程考虑受外力作用的弹簧—质量—阻尼系统： 相应齐次方程是 自然圆频率为 欠阻尼时，阻尼圆频率满足 1. 叠加原理 II若 是非齐次方程的一个特解， 是相应齐次方程的解，则 仍是非齐次方程的解。 若 表示

第 12 讲：阻尼振动研究无外力弹簧—质量—阻尼系统 其特征多项式为 特征根对应系统的模态。 1. 三种阻尼情形在 下： 类型 参数条件 特征根 基本实解 过阻尼 两个不同实根 临界阻尼 重根 欠阻尼

第 11 讲：二阶线性方程1. 弹簧—质量系统二阶方程是机械系统和电气系统分析的基础。 设质量为 的小车与墙之间连接一根弹簧，并令 表示弹簧自然长度的位置。牛顿第二定律为 弹簧力总是把物体拉回平衡位置： 在小位移范围内，用切线近

第 9 讲：线性与非线性本讲以一场“辩论”比较线性方程与非线性方程： 对比 1. 线性方程的优势对约化标准形式 积分因子为 于是 通解具有形式 相应齐次方程 的非零解为 许多应用中 ，因而初始条件产生的项是暂态。 2. 非线性

第 8 讲：自治方程1. 定义与逻辑斯蒂方程一般一阶方程为 若右侧不显含时间， 则称为自治方程。这表示环境规律不随时间改变，但变化率仍可依赖系统当前状态。 自然增长模型 就是自治方程。银行余额模型 在利率仅依赖余额、净存款率为常数时

第 7 讲：指数与正弦输入—输出欧拉公式给出 1. 正弦型函数正弦型函数的图像是正弦波或余弦波。它由三个参数完全确定： 振幅 ：最大值的高度； 周期 ：重复一次所需的时间； 时间滞后 ：第一次达到最大值的时刻。 相角与时间的关系为