基本性质 布朗运动是一个实值随机过程 独立增量： 若 则 相互独立。 高斯增量： 若 (s,t\geq0)，则 服从方差为 (t) 的正态分布。 连续性： 以概率 (1)，映射 是连续的。 嗯……这是否意味着，我们需要使

基本性质 布朗运动是一个实值随机过程 独立增量： 若 则 相互独立。 高斯增量： 若 (s,t\geq0)，则 服从方差为 (t) 的正态分布。 连续性： 以概率 (1)，映射 是连续的。 嗯……这是否意味着，我们需要使

基本性质 布朗运动是一个实值随机过程 独立增量： 若 则 相互独立。 高斯增量： 若 ，则 服从方差为 的正态分布。 连续性： 以概率 ，映射 是连续的。 嗯……这是否意味着，我们需要使用一个 -代数，使得事件“ 连续

定义 如果 与 的对称差的测度为零，就称 是不变的。 注意：所有不变事件组成的类 是一个 -域。 如果 是平凡的，也就是说每个 都满足 就称一个保测变换是遍历的。 例： 若 且 是不变事件，那么 必然属于尾 -域

动机问题 考虑 上参数固定为 的独立边渗流。先看一些模拟。 令 为从 的边集到 的所有映射组成的集合， 为通常的乘积 -代数，而 为相应的概率测度。 考虑一个以原点为中心的 方框。方框中有多大比例的点属于某个无穷簇？当

动机问题 考虑 上参数固定为 的独立边渗流。先看一些模拟。 令 为从 的边集到 的所有映射组成的集合， 为通常的乘积 -代数，而 为相应的概率测度。 现在考虑一个以原点为中心的 方框，并问：方框中有多大比例的点属于某个无穷

Markov 链：一般定义 考虑可测空间 。 如果函数 满足下列条件，就称它为一个转移概率： 对每个 ，映射 是 上的一个概率测度； 对每个 ，映射 是可测函数。 如果对所有 ，都有 就称 是关于 、转移概率为 的 Mar

Markov 链 考虑随机变量序列 每个随机变量都在同一个状态空间中取值。目前先假设该状态空间是有限集，并将它标记为 把 解释为系统在时刻 的状态。 如果存在一组固定的数 ，其中每一对 都对应一个 ，并且每当系统处于状态 时

马尔可夫链 考虑随机变量序列 其中每个随机变量都在同一个状态空间中取值。目前先假设该状态空间是一个有限集，并把它标记为 把 解释为系统在时刻 的状态。 如果存在一组固定的数 ，其中每一对 都对应一个 ，并且每当系统处于状态

鞅 设 是一列递增的 -域（称为一个滤过）。 若对所有 都有 关于 可测，则称序列 适应于 。若 是适应序列，且 ，并满足 对所有 都成立，则称它为鞅。若把等号换成 （相应地换成 ），则称为上鞅（相应地称为下鞅）。 定理