收敛结果 定理： 若 则可以在同一个测度空间上找到相应的随机变量 ，使得 几乎必然 证明思路： 取 定理： 当且仅当对每个有界连续函数 ，都有 证明思路： 在同一个样本空间上定义 ，使其几乎必然收敛，再使用有界收敛定理。 定

Legendre 变换 定义函数 的 Legendre 变换（或 Legendre 对偶）为 当 时，可以从几何上描述 Legendre 对偶： 是函数 上斜率为 的切线与实轴相交的位置。我们可以让这条切线沿着 图像的凸包“滚

De Moivre–Laplace 极限定理 设 为独立同分布随机变量，并记 假设每个 以概率 取值 1，并以概率 取值 0。 De Moivre–Laplace 极限定理： Missing \left or extra \r

回顾 Borel—Cantelli 引理 第一 Borel—Cantelli 引理： 若 则 无穷多次发生（） 第二 Borel—Cantelli 引理： 若 相互独立，且 则 无穷多次发生（） Kolmogorov 零一律 考

回顾 Borel—Cantelli 引理 第一 Borel—Cantelli 引理： 若 则 无穷多次发生 第二 Borel—Cantelli 引理： 若 相互独立，且 则 无穷多次发生 回顾强大数定律定理（强大数定律）. 若

Borel—Cantelli 引理 第一 Borel—Cantelli 引理： 若 则 无穷多次发生（） 第二 Borel—Cantelli 引理： 若 相互独立，且 则 无穷多次发生（） 依概率收敛 子列的几乎必然收敛 定理

矩母函数 设 为随机变量。 的矩母函数定义为 当 为离散随机变量时，可以写成 因此， 是可数多个指数函数的加权平均。 当 为连续随机变量时，可以写成 因此， 是连续统多个指数函数的加权平均。 总有 。 如果 且 ，

回顾期望的定义 给定概率空间 和随机变量 （即从 到 的可测函数 ），记 如果 几乎处处成立，或者 与 的积分各自有限，那么期望总是有定义的。 强大数定律 定理（强大数定律）： 如果 是期望为 的独立同分布实值随机变

回顾期望的定义 给定概率空间 和随机变量 （即从 到 的可测函数 ），记 如果 几乎处处成立，或者 与 的积分各自有限，那么期望总是有定义的。 强大数定律 定理（强大数定律）： 如果 是期望为 的独立同分布实值随机变

回顾 Lebesgue 积分 Lebesgue 的思想：只要能够测量，就能够积分。 更具体地说：若 是测度空间， 是满足 的测度，而 是 -可测函数，那么可以定义 对非负的 可以这样定义；如果 和 的积分都有限，也可以这样定