1. 本讲内容 从先验概率更新到后验概率； 用概率树和表格组织贝叶斯计算； 已知离散先验或基准率时的推断； 逐次更新； 后验预测。 2. 从经验中学习：成功率之外还有样本量若只告诉我们三种治疗的治愈率为 、、，看似第一种最好。但补充样本量

对有界函数 和分割 ，令 定义上和与下和 总有 。若加细分割，则下和不减、上和不增。定义 二者相等时，称 Riemann 可积，共同值记为 可积判据 可积，当且仅当对每个 ，存在分割 使 定理闭区间上的连续函数 Rieman

微积分基本定理若 在 连续，并定义 则 在 可微，且 因为 连续性保证该平均值趋于 。 反之，若 ，则 分部积分由乘积求导法则 及微积分基本定理，得到 换元公式若 连续可微，且 连续，则 该公式由链式法则和微积分基

1. 从概率论进入统计学统计学研究数据的收集、描述、分析，以及如何根据数据作出推断或决策。它使用概率论的数学工具，但实际结论还依赖模型选择、实验设计和背景判断。 统计工作大致分为： 数据收集 非正式调查； 观察性研究； 正式实验。 描述统

若 在 可微，，则 若 ，则 复合函数满足链式法则： Fermat 定理若 在内点 取得局部最大值或最小值，且在 可微，则 Rolle 定理若 在 连续，在 可微，且 ，则存在 使 Lagrange 中值定理在

Taylor 定理若 在包含 的区间上具有 阶导数，则存在介于 与 之间的 ，使 最后一项是 Lagrange 余项。它把局部多项式近似的误差转化为高阶导数的估计。例如， 分割与 Riemann 和区间 的分割是有限点集

1. 考试安排 试卷按 1 小时的完成时间设计，实际答题时间为完整的 80 分钟； 考试会附标准正态概率表； 可以携带一张单面 英寸的公式纸； MITx 第 5 周页面提供了大量练习题； 不需要也不允许使用计算器； 考试不使用 R； 应提

函数 一致连续，是指对每个 ，存在只依赖于 的 ，使任意 满足 时都有 一致连续强于逐点连续。函数 在 上连续但不一致连续；取 、，两点距离趋于零而函数值之差不趋于零。 Heine–Cantor 定理闭区间上的连续函数一致连续

Weierstrass 构造揭示了连续与可微之间的巨大差距。考虑形如 并适当选择奇整数 ，使 且满足更强的技术条件。 由于 而几何级数 收敛，该函数级数一致收敛。每个部分和都连续，所以其一致极限 连续。 不可微性的核心在于不同尺度

1. 联合分布设 是定义在同一样本空间上的随机变量。 离散情形的联合概率质量函数为 连续情形的联合概率密度函数为 两种情形的联合累积分布函数统一定义为 2. 离散联合 PMF独立掷两枚公平六面骰，令 为第一枚点数、 为第二枚点数。