最大最小值定理若 连续，则 有界，并且存在 ，使 对所有 成立。 证明先反设无界，选取 。由 Bolzano–Weierstrass 定理， 有收敛子序列，其极限仍在闭区间内；连续性却要求相应函数值收敛，产生矛盾。再取函数值趋于上确

利用单位圆几何可得 因此 再由和角公式， 可知 与 在每个实数点连续。 Dirichlet 函数定义为 由于有理数与无理数都在 中稠密，对任意 ，可分别取有理序列和无理序列趋于 ，其函数值分别恒为 和 。故 在每一点都不

1. 平均值的标准差设 为独立同分布随机变量，每个变量的均值为 、标准差为 。样本平均为 由期望的线性， 由独立变量方差可加， 因此 平均值与单次测量有相同均值，但标准差更小，所以通常是对 更稳定的估计。 2. 标准化若随机变量

设 ，且 是 的聚点。若对任意 ，存在 ，使得 则称 在 时趋于 ，记作 函数在 点的取值并不影响该极限。极限若存在则唯一。若 在 的某个去心邻域内成立，且两者极限存在，则 夹逼定理、和、数乘、积与商的极限定律均与数列情

序列判据设 是 的聚点，则 当且仅当对每个满足 、 的序列，都有 逆向证明采用否定命题：若函数极限不是 ，便存在 ，并可对每个 选取 这与序列条件矛盾。 连续性函数 在 连续，是指对每个 ，存在 ，使 若 是聚点，这等价

1. 本讲内容 连续随机变量的期望； 方差与标准差； 分位数和中位数； 直方图； 大数定律。 2. 连续型期望期望是随机变量位置或集中趋势的度量。若连续随机变量 的取值范围为 ，密度为 ，则 若范围无界，则相应地使用广义积分。 离散情

调和级数尽管 ，调和级数 仍然发散。把部分和按长度为 的区块分组，有 故部分和序列无界，调和级数发散。这说明“通项趋于零”不足以推出级数收敛。 级数的线性性质若 与 收敛，，则 收敛，并且 非负项级数若 ，则部分和序列单调递增

比值判别法设 ，并且极限 存在。 若 ，则 绝对收敛。 若 ，则 发散。 若 ，此判别法不能给出结论。 当 时，选择 。对充分大的 ， 所以尾部可被一个收敛的几何级数控制。若 ，则最终有 ，通项不趋于零，级数发散。 例如，对任

1. 本讲内容 指数分布； 均匀分布； 正态分布； 随机变量的变换； 频数直方图与密度直方图。 2. 指数随机变量参数为 的指数随机变量记为 取值范围为 ，其中 是率参数。其密度与 CDF 分别为 均值和方差为 指数分布用于刻

三个常用极限若 ，则 前两个结论可分别由收敛定义与 Bernoulli 不等式证明。对第三个结论，令 由二项式展开， 所以 上极限与下极限设 是有界序列，定义尾部集合 以及 则称 为序列的上极限，称 为序列的下极限。 因为