习题集 1说明提交时间：2006 年 9 月 15 日（星期五）下午 1:55。 第一部分由补充讲义中的练习组成，解答可在讲义的解答部分找到；评分主要检查是否全部完成以及是否独立作答。第二部分没有提供解答，分值更高，其中包含不适合考试或简答

第 38 讲：期末复习1. 幂级数的微分与积分若 则在收敛区间内部， 并且 这些公式让我们能够用级数计算没有初等原函数的积分。 2. 高斯函数的积分例如， 逐项积分可得 虽然 没有初等函数形式的原函数，但其定积分仍可借助级数计算

第 24 讲：数值积分1. 为什么需要数值积分当定积分 的被积函数很复杂，或者没有初等原函数时，需要用数值方法求近似值。 例如： 和 都不能通过初等原函数直接写出闭式答案。 数值积分给出具体数值近似，而不是解析表达式。 本讲介绍：

第 23 讲：功、平均值与概率1. 从离散平均到连续平均有限个数的算术平均为 现在要定义连续区间上函数值的平均。 把 等分成 段： 选取样本点 ，令 离散平均为 乘以并除以 ： 当 时，黎曼和趋于定积分，因此定义： 2.

第 22 讲：圆盘法与圆柱壳法求体积1. 两种旋转体方法本讲通过例题介绍两种计算旋转体体积的方法： 圆盘／垫片法； 圆柱壳法。 选择哪一种，取决于切片方向与旋转轴的关系： 切片垂直于旋转轴，形成圆盘或垫片； 切片平行于旋转轴，形成薄圆

第 21 讲：对数与几何应用1. 用积分直接定义自然对数幂函数积分公式 在 时失效，因为分母变为零。 因此 的原函数不是幂函数。定义 这个函数将被证明就是自然对数。 相比先研究 、定义 、再把对数定义为 的反函数，这种积分定义更加

第 20 讲：微积分第二基本定理1. 回顾第一基本定理若 连续，且 则 这说明已知原函数时如何计算定积分。 2. 每个连续函数都有原函数吗答案是肯定的。 但是，有些连续函数的原函数无法用此前学过的初等函数表示。例如： 它的原函数存在

第 19 讲：微积分第一基本定理1. 微积分基本定理若 连续，且 则 这把定积分的黎曼和极限与原函数联系起来，使积分可以通过求原函数计算。 2. 上下限代入记号常写成 或 其含义是 必须先代入上限，再减去代入下限的结果。 3.

第 18 讲：定积分1. 积分的用途积分可用于计算： 累积总量； 平均值； 面积； 由随时间变化的速率产生的总变化。 2. 曲线下面积计算曲线下面积的基本思想： 把区域分成许多窄条； 用矩形近似每一窄条的面积； 把矩形面积相加； 让矩

第 16 讲：微分方程与分离变量1. 常微分方程含有一个自变量、未知函数及其导数的方程称为常微分方程，简称 ODE。 最简单的例子是 也就是 其解为 在本课程中，这类方程通过求原函数便视为已经解决。 2. 例 1：考虑微分方程 算子