Gustavo
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03-1-线性和二次逼近 03-1-线性和二次逼近
线性与二次近似本讲使用导数进行近似计算。 线性近似 切线近似函数 。它在切点 附近提供一个很好的近似。然而，离 越远，近似通常越差。 例 1. ， （基点） 改变基点： 基点 。 基本线性近似列表在这个列表中，我们总是使用基点
2025-12-03 数学
数学 微积分
02-6-指数和对数、对数微分法、双曲函数 02-6-指数和对数、对数微分法、双曲函数
指数、对数与对数微分法指数函数与对数函数的导数背景本讲先假设底数 大于 1。 （其中和是整数） 对一般实数 ，利用连续性将 从有理数指数延拓到实数指数。 本讲的主要任务：求 由定义， 提取公因式 ： 定义 虽然尚不知道 的具体值
2025-12-02 数学
数学 微积分
02-5-隐式微分和逆 02-5-隐式微分和逆
隐式微分与反函数隐函数微分法例 1. 。 此前已对整数指数 以及 证明了该公式。现在尝试将其扩展到有理数指数： 令 ；，其中 和 是整数。 要求 。由 ，两边对 求导得 。解出 ： 我们知道 是 的函数。代入得 所以，
2025-12-01 数学
数学 微积分
02-4-链式法则和高阶导数 02-4-链式法则和高阶导数
链式法则和高阶导数链式法则我们已经有了对和、差、积求导的一般方法。那么复合函数呢？ 例 1. ， 。 所以，。为求 ，写出 由于连续性，当 时， 也趋于 0。于是得到： 链式法则！ 在这个例子中， 且 。
2025-12-01 数学
数学 微积分
02-3-乘积、商、正弦、余弦的导数 02-3-乘积、商、正弦、余弦的导数
乘积、商、正弦、余弦的导数导数公式求导公式大致分为两类： 针对具体函数的公式： 或 一般运算法则： 和 （其中 是常数） 本讲约定： 证明 从导数定义出发。 同样的方法可以证明 。 和 的导数。 上一讲得到两个基础
2025-11-30 数学
数学 微积分
02-2-极限与连续性三角极限 02-2-极限与连续性三角极限
极限、连续性与三角函数极限再谈导数的”变化率”解释 当时 平均变化率 瞬时变化率例 = 电荷 电流 = 距离 速率（速度） = 温度 温度梯度 测量的敏感度：习题集 1 中有一个相关例子。GPS 中，无线电信号只能在一定误
2025-11-30 数学
数学 微积分
02-1-导数、斜率、速度和变化率 02-1-导数、斜率、速度和变化率
前言 什么是导数 几何意义 物理意义 对各种测量问题都至关重要（经济学、政治学、金融学、物理学等） 如何对各种函数求导 例如，本讲讨论导数的含义；后续课程将系统学习各种函数的求导方法。 第一讲：导数、斜率、速度和变化率导数的几何视
2025-11-29 数学
数学 微积分
01-11-三角函数 01-11-三角函数
三角函数基础弧度制在微积分中，我们必须使用弧度制，而不是度数制，因为三角函数的导数和极限公式（比如 的极限）都是基于弧度制推导出来的。 定义： 弧长等于半径的中心角大小定义为 1 弧度。 换算： 弧度 圆上的弧长： 对于半径为
2025-11-29 数学
数学 微积分
01-10-任何函数求导 01-10-任何函数求导
对任何函数求导， 是指学习一套规则，使我们能够对由基本函数（如多项式、三角函数、指数函数）通过加、减、乘、除和复合运算构造出来的任何复杂函数进行求导。 这个过程主要依赖于七个核心的**求导法则。 核心求导法则 法则名称 作用 表达式
2025-11-29 数学
数学 微积分
01-9-数学归纳法 01-9-数学归纳法
数学归纳法数学归纳法是一种数学证明的方法，通常被用于证明某个命题在自然数范围内成立，其一般步骤如下： 第一步：验证n取第一个自然数时成立 第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中推导
2025-11-28 数学
数学 微积分
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