Gustavo
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04-3-微积分第二基本定理 04-3-微积分第二基本定理
微积分第二基本定理回顾：微积分第一基本定理 (FTC 1) 若 连续且 ，则 。 也可写成 。 每个连续函数都有原函数吗？ 答案是肯定的。然而，有些连续函数的原函数无法用此前学过的初等函数表示。例如 ，它的原函数确实存在，但不是多项式、
2025-12-12 数学
数学 微积分
04-2-微积分第一基本定理 04-2-微积分第一基本定理
微积分第一基本定理微积分基本定理（FTC 1）若 连续，且 ，则 记号： 例 1： , ; 例 2： 正弦函数一个波峰下的面积（见图 1） 例 3： FTC 的直观解释： 是位置； 是速度。 右边 是净位移，即从时间 到
2025-12-12 数学
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04-1-定积分 04-1-定积分
定积分积分可用于计算：累积总量、平均值和面积。 计算曲线下面积的基本思想（见图 1）： 把区域分成许多窄条 用矩形近似每一窄条的面积 把矩形面积相加 让矩形宽度趋于 0 例 1. 任意 把区间 等分成 个小区间，每段宽度
2025-12-11 数学
数学 微积分
03-8-微分方程和变量分离 03-8-微分方程和变量分离
微分方程与分离变量法常微分方程 例 1. 解： 这类方程通过求原函数便视为已经解决。 例 2. 或 （ 在量子力学中称为湮灭算符。） 先解出导数： 关键步骤是分离变量：把所有含 的因子放到一边，含 的因子放到另一边。 两边
2025-12-10 数学
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03-7-微分与原函数 03-7-微分与原函数
微分与原函数新记法： 微分 和 都称为微分。莱布尼茨记号 可以形式上看作微分之比。它的一种用途是线性近似。 例 1. 近似计算 方法 1（线性近似方法回顾） 一个好的基点是 ，因为 。 设 。同理， 方法 2（回
2025-12-10 数学
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03-6-中值定理与不等式 03-6-中值定理与不等式
中值定理与不等式 中值定理 中值定理（MVT）是微积分的基础定理之一。它指出： 若 在 上可导，且在 上连续，则 对于某个，其中 这里， 是割线斜率，而 是切线斜率。即至少有一条切线与端点割线平行。 几何直观： 取一条与割
2025-12-10 数学
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03-5-牛顿法及其他应用 03-5-牛顿法及其他应用
牛顿法及其他应用牛顿法牛顿法是数值求解方程 的有力工具。例 1. ，即求解 。我们已知其正根为 。牛顿法可以给出很好的数值近似。该方法利用了切线（见图 1）。 目标是找到曲线与 轴的交点。 从初始猜测 开始。代入 的方程，得
2025-12-09 数学
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03-4-相关变化率 03-4-相关变化率
相关变化率例1. 警察位于公路边缘外 30 英尺处。汽车正在靠近，雷达测得警察与汽车之间的直线距离正以 80 英尺/秒的速率减小。当汽车距雷达枪 50 英尺时，汽车是否超过 65 英里/小时的限速？（换算后为 95 英尺/秒） 首先，画示意
2025-12-09 数学
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03-3-最大值和最小值问题 03-3-最大值和最小值问题
最大值与最小值问题例 1. （与上一讲的函数相同） 最大值是多少？答案：。 最大值在何处取得？答案：。（见图 1） 注意：有人会问”最大值是多少？”答案不是 。你可能习惯于找出临界点 ，这是主要的微积分步骤，但容易忽略最大值本身
2025-12-05 数学
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03-2-曲线草图的绘制 03-2-曲线草图的绘制
曲线草图目标： 利用 和 的性质画出 的草图。图像应当在定性上正确，但不一定严格按比例绘制。 典型情形：这里 是极小值， 是取得该极小值的点。 注意，当 时，，即 在临界点左侧递减。当 时，： 在临界点右侧递增。 另一种典型
2025-12-04 数学
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