第 29 讲：部分分式1. 有理函数积分有理函数是两个多项式之比： 目标是把复杂有理函数系统地分解为容易积分的简单分式。 例如： 但同一个被积函数合并后看起来更复杂： 部分分式的任务就是把后者拆回前者。 2. 使用部分分式前的准备2.

第 28 讲：反向换元与配方法1. 继续计算圆弧下的面积考虑 它表示半径为 的上半圆，从 到 的带符号面积。 2. 三角换元消去根号令 选取 则 ，所以 根号已经消失。 上下限： 因此 3. 把答案换回 令 则 从直

第 26 讲：三角积分与三角换元1. 正弦与余弦幂的积分考虑 其中 已知基本公式： 处理高次幂时，策略取决于 的奇偶性。 2. 方法 A：至少一个指数为奇数2.1 正弦指数为奇数保留一个 ，把其余偶次正弦用 改写，然后令 2.

第 24 讲：数值积分1. 为什么需要数值积分当定积分 的被积函数很复杂，或者没有初等原函数时，需要用数值方法求近似值。 例如： 和 都不能通过初等原函数直接写出闭式答案。 数值积分给出具体数值近似，而不是解析表达式。 本讲介绍：

第 23 讲：功、平均值与概率1. 从离散平均到连续平均有限个数的算术平均为 现在要定义连续区间上函数值的平均。 把 等分成 段： 选取样本点 ，令 离散平均为 乘以并除以 ： 当 时，黎曼和趋于定积分，因此定义： 2.

圆盘法与圆柱壳法求体积圆盘法与圆柱壳法本讲通过例题介绍两种计算旋转体体积的方法：圆盘法和圆柱壳法。 例 1. 女巫的大锅 方法 1：圆盘法 图 2 中圆盘的面积为 。圆盘的厚度为 ，小体积为 。大锅的体积 为 (代入 ) 若 米，则

对数与几何应用用 FTC 2 定义自然对数 像菲涅耳函数 和 这样用积分定义的函数，几乎和基本函数一样容易使用。可以绘制它们的图像并制表列出值。在习题中，要求完成一两个这样的例子。为了熟悉定积分和 FTC 2 的使用，下面详细讨论产生一

微积分第二基本定理回顾：微积分第一基本定理 (FTC 1) 若 连续且 ，则 。 也可写成 。 每个连续函数都有原函数吗？ 答案是肯定的。然而，有些连续函数的原函数无法用此前学过的初等函数表示。例如 ，它的原函数确实存在，但不是多项式、

微积分第一基本定理微积分基本定理（FTC 1）若 连续，且 ，则 记号： 例 1： , ; 例 2： 正弦函数一个波峰下的面积（见图 1） 例 3： FTC 的直观解释： 是位置； 是速度。 右边 是净位移，即从时间 到

定积分积分可用于计算：累积总量、平均值和面积。 计算曲线下面积的基本思想（见图 1）： 把区域分成许多窄条 用矩形近似每一窄条的面积 把矩形面积相加 让矩形宽度趋于 0 例 1. 任意 把区间 等分成 个小区间，每段宽度