比值判别法设 ，并且极限 存在。 若 ，则 绝对收敛。 若 ，则 发散。 若 ，此判别法不能给出结论。 当 时，选择 。对充分大的 ， 所以尾部可被一个收敛的几何级数控制。若 ，则最终有 ，通项不趋于零，级数发散。 例如，对任

1. 本讲内容 指数分布； 均匀分布； 正态分布； 随机变量的变换； 频数直方图与密度直方图。 2. 指数随机变量参数为 的指数随机变量记为 取值范围为 ，其中 是率参数。其密度与 CDF 分别为 均值和方差为 指数分布用于刻

三个常用极限若 ，则 前两个结论可分别由收敛定义与 Bernoulli 不等式证明。对第三个结论，令 由二项式展开， 所以 上极限与下极限设 是有界序列，定义尾部集合 以及 则称 为序列的上极限，称 为序列的下极限。 因为

Cauchy 序列定义若对每个 ，存在 ，使得对所有 ， 则称 为 Cauchy 序列。 其否定是：存在 ，使得对每个 ，都能找到 满足 例如， 是 Cauchy 序列，而 不是。 定理：Cauchy 序列有界取足够大的 ，使

1. 本讲内容 离散随机变量的方差与标准差； 积分复习； 连续随机变量与概率密度； 指数分布。 先提醒一个重要区别：函数的期望通常不等于期望的函数。若 由于 ，有 ，因此 但 一般并不等于 。 2. 方差与标准差设离散随机变量 的

一个基本例子考虑序列 由于 给定任意 ，只要取 ，当 时便有 因此 相比之下，序列 不收敛。它的项在 与 之间不断交替，不可能最终全部落在同一个足够小的邻域内。 定理：收敛序列必有界若 则序列 有界。 证明。 在收敛定义

夹逼定理定理设三个实数序列满足 对所有充分大的 成立。若 则 证明。 给定 。当 充分大时， 因此 所以 。证毕。 用绝对值刻画收敛定理 这实际上只是收敛定义的另一种写法：两边都要求对每个 ，当 充分大时， 例：有理式序列

1. 本讲内容 随机变量； 概率质量函数； 累积分布函数； 期望； 伯努利分布、二项分布与几何分布。 2. 随机变量随机变量 为样本空间中的每个结果指定一个实数： 符号“”表示事件 随机变量不是“随机变化的未知数”，而是定义在样本空

定理 431. Archimedes 性质若 且 ，则存在 ，使 反设所有 都满足 ，则 有上界。令 不是上界，所以存在 使 $a-1

定理 51：三角不等式对任意 ， 因为 且 所以 由绝对值的刻画即得结论。 小数展开对 ，用数字序列 表示 意指 每个 都有按讲义约定选定的唯一数字序列，满足 需要固定尾随 9 或尾随 0 的表示约定，以避免 造成的双重