微分方程与分离变量法常微分方程 例 1. 解： 这类方程通过求原函数便视为已经解决。 例 2. 或 （ 在量子力学中称为湮灭算符。） 先解出导数： 关键步骤是分离变量：把所有含 的因子放到一边，含 的因子放到另一边。 两边

微分与原函数新记法： 微分 和 都称为微分。莱布尼茨记号 可以形式上看作微分之比。它的一种用途是线性近似。 例 1. 近似计算 方法 1（线性近似方法回顾） 一个好的基点是 ，因为 。 设 。同理， 方法 2（回

中值定理与不等式 中值定理 中值定理（MVT）是微积分的基础定理之一。它指出： 若 在 上可导，且在 上连续，则 对于某个，其中 这里， 是割线斜率，而 是切线斜率。即至少有一条切线与端点割线平行。 几何直观： 取一条与割

牛顿法及其他应用牛顿法牛顿法是数值求解方程 的有力工具。例 1. ，即求解 。我们已知其正根为 。牛顿法可以给出很好的数值近似。该方法利用了切线（见图 1）。 目标是找到曲线与 轴的交点。 从初始猜测 开始。代入 的方程，得

相关变化率例1. 警察位于公路边缘外 30 英尺处。汽车正在靠近，雷达测得警察与汽车之间的直线距离正以 80 英尺/秒的速率减小。当汽车距雷达枪 50 英尺时，汽车是否超过 65 英里/小时的限速？（换算后为 95 英尺/秒） 首先，画示意

最大值与最小值问题例 1. （与上一讲的函数相同） 最大值是多少？答案：。 最大值在何处取得？答案：。（见图 1） 注意：有人会问”最大值是多少？”答案不是 。你可能习惯于找出临界点 ，这是主要的微积分步骤，但容易忽略最大值本身

曲线草图目标： 利用 和 的性质画出 的草图。图像应当在定性上正确，但不一定严格按比例绘制。 典型情形：这里 是极小值， 是取得该极小值的点。 注意，当 时，，即 在临界点左侧递减。当 时，： 在临界点右侧递增。 另一种典型

线性与二次近似本讲使用导数进行近似计算。 线性近似 切线近似函数 。它在切点 附近提供一个很好的近似。然而，离 越远，近似通常越差。 例 1. ， （基点） 改变基点： 基点 。 基本线性近似列表在这个列表中，我们总是使用基点

指数、对数与对数微分法指数函数与对数函数的导数背景本讲先假设底数 大于 1。 （其中和是整数） 对一般实数 ，利用连续性将 从有理数指数延拓到实数指数。 本讲的主要任务：求 由定义， 提取公因式 ： 定义 虽然尚不知道 的具体值

隐式微分与反函数隐函数微分法例 1. 。 此前已对整数指数 以及 证明了该公式。现在尝试将其扩展到有理数指数： 令 ；，其中 和 是整数。 要求 。由 ，两边对 求导得 。解出 ： 我们知道 是 的函数。代入得 所以，