第 18 讲：定积分1. 积分的用途积分可用于计算： 累积总量； 平均值； 面积； 由随时间变化的速率产生的总变化。 2. 曲线下面积计算曲线下面积的基本思想： 把区域分成许多窄条； 用矩形近似每一窄条的面积； 把矩形面积相加； 让矩

第 16 讲：微分方程与分离变量1. 常微分方程含有一个自变量、未知函数及其导数的方程称为常微分方程，简称 ODE。 最简单的例子是 也就是 其解为 在本课程中，这类方程通过求原函数便视为已经解决。 2. 例 1：考虑微分方程 算子

第 15 讲：微分与原函数1. 微分若 定义微分： 和 都称为微分。 莱布尼茨记号 可以形式上看作微分之比。 2. 微分与线性近似实际增量满足 而微分为 当 很小时， 等价地， 这就是线性近似： 3. 例 1：近似计算

第 14 讲：中值定理与不等式1. 中值定理中值定理是微积分的基础定理之一。 **定理：**若函数 ： 在闭区间 上连续； 在开区间 上可导； 则至少存在一个 使得 左侧是连接 与 的割线斜率；右侧是曲线在某个中间点 处的切线

第 13 讲：牛顿法与其他应用1. 牛顿法牛顿法是数值求解方程 的有力工具。它用函数图像的切线交点不断改进根的近似值。 2. 例 1：求 考虑 方程 的正根为 现在用牛顿法求其数值近似。 2.1 第一次迭代从初始猜测 开始。函数值

第 12 讲：相关变化率1. 什么是相关变化率当多个随时间变化的量由一个方程联系起来时，对该方程关于时间作隐式微分，就能建立它们变化率之间的关系。 一般步骤： 画图； 定义变量，区分常量与随时间变化的量； 写出变量间的方程； 对方程关于时

第 11 讲：最大值与最小值问题1. 最大值的位置与最大值本身再次考察 上一讲已经得到： 唯一临界点满足 所以 函数在 左侧递增、右侧递减，因此最大值在 处取得。 但是必须区分： 最大值取得的位置是 最大值本身是

第 10 讲：曲线草图1. 目标利用 和 的行为画出 的草图。 图像应当在定性上正确，但不一定严格按比例绘制。 2. 临界点与单调性若 则 是一个临界点候选。 2.1 局部极小值的典型情形若 且 则函数在 左侧递减、右侧递增，因

第 9 讲：线性与二次近似第二单元：微分的应用本讲使用导数近似计算函数值。 1. 线性近似函数 在基点 附近的切线为 因此，当 接近 时， 切线在切点附近能很好地逼近曲线；离 越远，近似通常越差。 2. 例 1： 在 附近令

第 7 讲：续讲与第一次考试复习1. 双曲正弦与双曲余弦1.1 定义双曲正弦定义为 双曲余弦定义为 英文中 常读作 “sinsh”， 常读作 “cosh”。 1.2 导数 同理， 注意： 而普通余弦满足 双曲函数公式中没有负号。